着眼问题解决，整合教材内容

杨亚军

摘 要 立足学情，着眼问题解决，通过整合教材内容，以培养和发展学生分析问题、解决问题的意识与能力为教学目标，设计课堂教学的组织与实施.让学生在问题解决的尝试与实践交流中，进一步领会不等式的不同证明方法的特点，实现在应用、比较中理解、掌握不同方法的适用类型和优劣.在此过程中培养学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素。

关键词 整合 设计 实践

中图分类号：G634.6文献标识码：A

教学目标的恰当科学设定，教学活动围绕目标达成的有效设计与组织，以及教学活动中教师及时的反馈与引导，是教师教学的核心能力。教学设计立足这三个方面进行，教师在教学中就能更好地落实课程标准要求，帮助学生夯实“四基”、提高“四能”，会更有利于发展学生的数学学科核心素养。下面就以《不等式的证明》为例跟大家交流一下我对本节内容的设计与教学实践。

《不等式的证明》是选修4-5《不等式选讲》第一章第4节（北师大版）的教学内容，共4课时。按教材的编排思路和习惯的教学设计，本节内容依次引导学生应用比较法、分析法、综合法、放缩法、几何法、反证法证明不等式，并歸纳相应方法的特点及适用情境。

基于学生在此前的数学课程学习中，已对运用比较法（作差、作商）、综合法、分析法、反证法等方法证明恒等式、不等式、有关定理或命题有了一定的实践体验，对有关的证明方法特点和基本证明步骤也比较熟悉的实际，我在本节教学中着眼问题解决进行设计、组织。我力图通过充分挖掘典型题目的价值，以问题解决为重点，在问题解决的过程中，在师生探讨、分享、实践的过程中，实现进一步理解、巩固不等式的各种证明方法。

本节课的教学目标：用不同方法证明一个有趣的不等式（“糖水”不等式）;回顾已学过的不等式证明的方法;以此巩固“四基”、发展“四能”，打破方法对学生思路、思维的禁锢。

本节课的教学活动设计：问题驱动，鼓励学生分享、展示自己的解决方法或想法;教师及时的反馈、引导、启发，鼓励学生尝试、修正，启迪学生思考，指导学生归纳。力求克服教材按证明方法逐类安排例题的弊端：容易导致学生或被给定的方法禁锢、或被一道道题目牵着走，不利于对学生思维广度和深度的训练，也不利于对学生问题解决意识与能力的培养。

作为本节内容的起始课，我以学生熟悉的“糖水不等式”为研究载体，按以下方式鼓励、引导学生探索不同的证明思路和方法，尝试把学生的注意力紧紧引导在问题证明的思路和方法探索上。

给出问题：已知>>0，>0，让求证：<。让学生调动自己所学，尝试对此熟悉的结论给出严格的数学证明。

学生容易想到作差比较法（目标式左、右结构都比较简单，作差比较法又是基本方法），操作起来也没什么困难。在此基础上，教师引导学生考虑此题可否通过作商比较完成？学生实践后，可行，但本质上似乎还是依赖于作差。进而引导学生思考、归纳作差比较法与作商比较法的适用情境以及使用时的注意事项。

有学生想到了分析法，让学生实践后，切身感受分析法确实也是挺好的一种途径。学生小有成就感。有了分析法，当然也就有了综合法的证明。分析法探寻证明思路，综合法表述证明过程，各用所长。

继续鼓励学生放开思路大胆尝试，有学生想到了反证法，让学生实践，也挺顺利。学生小有惊喜。

事实上，课堂上还真有学生从结构方面联系到了直线的“斜率”，结合图形给出了直观解释。其细节上虽有些瑕疵，师生共同予以修正、完善。不少学生眼前一亮，从结构出发联想、构造图形，以前自己可从没这样想过。

最后，我从分式的结构出发，引导学生探索通过放缩进行证明的新途径。注意到 =  =  <  ;或利用熟悉的部分分式法（分离常数法）有=1+，=1+因为+>，Ha<0，得到<，结论亦可得到证明。

还可以通过构造函数，利用函数性质证明不等式，如设=1+（>0），其中<0，利用该函数在（0，+∞）递增，显然有<成立，故所证结论成立。

学生从一开始的不以为然，到有点感觉，到小有成就，到小有惊喜，直到到眼前一亮，学生的思路越来越开阔，学生的思维越来越活跃，学生的体验与感受也越来越深刻。现在让学生回头看看，对这个问题的解决方法虽各有千秋、各有特点，但都是紧紧围绕问题的解决，或是利用了自己的所长（熟悉的方法、技能、经验），或是利用了自己发现的结构特点，通过联想或变形，实现了对问题的多样性解决。以此提醒学生在今后的学习学习中，不一定要刻意追求方法的多样性，但对一道题目或尝试进行多角度思考、或尝试进行变式训练，这样做远比简单的一道道刷题，更有利于提高数学学科能力。

上述实践探索过程，虽然只有一道题目，但已经涵盖了教材在本节（4课时）编排的证明不等式的7种方法。这次设计与实践，我个人认为是一次成功的、有益的探索。尤其作为选修教材的教学，在学生的数学方法与数学能力已经有了相对充足的储备这一前提之下，课堂教学的设计若能以问题驱动为线索，以问题解决为根本，在解决问题的实践中应用、理解、归纳方法，这样学生对有关方法的认识才会是有血有肉接地气的。也能让学生在实践中体会方法只是解决问题的有效手段，方法固然重要，但能用恰当的方法解决问题才是王道。

这次实践，也让我对本节后续内容的教学，有了明晰的实施方向。虽然接下来的几节课，要分别围绕证明不等式的上述7种方法进行深入实践、应用。但我决定继续采用问题驱动的方式，通过精选例题，让学生尝试用自己熟悉的、能想到的方法解决问题。避免传统的某几道例题紧紧围绕某一种证明方法的定向式训练，让学生在问题分析、思路探索尝试、方法识别应用中深刻认识方法、掌握方法，提升能力。

在今后的教学中，我们在进行教学设计时，能立足自己所教学生的实际，结合教学内容的特点，对教材内容进行科学的整合;能对教学方式做恰当尝试与转变，突出学生的主体地位，突出对学生思维的训练;能注重对典型素材的挖掘和利用，以问题驱动为抓手，真正实现用教材教。这是实现提高课堂教学效率，提升课堂教学质量的一条有效途径。长期坚持下去，必能在培养、发展学生的数学学科能力与数学核心素养上取得更佳效果。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].人民教育出版社，2018：80-84+100-105.

[2] 严士健，王尚志.数学选修4-5不等式选讲[M].北京：北京师范大学出版社，2007：16-21.