准确产生数学美

康宁

◆摘  要：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每个公民应该具备的基本素养。”新课标提出的数学素养不仅培养学生的知识和技能，更是培养学生的思维能力和创新能力。尺规（指无刻度的直尺和圆规）作图不需要刻度，不用测量，而是以基本图形的性质和判定为依据，比测量更精确地进行基本作图，在初中数学教材中有独特的意义，严谨的作图步骤体现着数学图形独特的简洁美、和谐美，规范的尺规作图正是培养学生形成数学素养的一种体现。

◆关键词：尺规作图;规范准确;简洁美;和谐美

我在指导学生尺规作图时，只要学生能熟练操作，却忽视了严谨的推理证明和的语言表述，导致学生作图不够规范，还不能准确地用语言描述作图步骤和作图依据，也体会不到数学的魅力，学生知其然不知其所以然。所以，学生不但要熟练使用作图工具，还要结合图形的性质和判定方法，对所要求作的图形的特征进行分析，逆向思考作图思路，能准确描述作图步骤，准确操作，并会用尺规作图方法解决一些实际问题。

以初中学段的几种基本作图（如：①做一条线段等于已知线段②做一个角等于已知角③做已知角的角平分线④做已知线段的垂直平分线⑤过直线外一点做已知直线的垂线等）为载体，熟练掌握几种基本图形的做法，正确理解它们的作图原理（图形的性质和判定），以达到规范准确，并综合几种做法做出较复杂的目标图形（如三角形的重心、垂心、内心、外心等），理解其理论依据，进一步能解决简单的实际问题。

一、准确描述作图语言

新课程要求尺规作图要保留作图痕迹，作图时画出的所有点和线不可随意擦去，具体的作法学生会用语言准确描述即可，但学生不规范、不准确的口头语言描述不但会使作图出错，更是学生对作图原理不理解的体现。

例 1：如下图，已知线段a和b，求作一条线段AD，使它的长度等于2a-b。

学生口头描述如图（1），①作射线AM;②在射线AM上截取AB=BC=a，CD=b，则线段AD即为所求。

错误分析：作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要说清楚是否“顺次”，而在求線段差时，要交待截取的方向。

正确描述：如图（2），①作射线AM;②在射线AM上，顺次截取AB=BC=a;③在线段CA上截取CD=b，则线段AD就是所求作的线段.学生描述的不严谨会导致与目标图形不一致的图形出现，如图（1），通过亲身尝试，学生才能体会到数学语言的严谨性，并能规范描述作图过程。

例2：求作一个角等于已知角∠MON，如图（1）。

学生口头描述如下：如图（2），①作射线O1M1;②在图（1），以O为圆心作弧，交OM于点A，交ON于点B;③以O1为圆心作弧，交O1M1于C;④以C为圆心作弧，交于点D;⑤作射线O1D.则∠CO1D即为所求的角。

错误分析：作图过程中出现了不准确的作图语言，在作弧时，应准确描述圆心和半径，即以某点为圆心，以某条线段的长为半径或以任意线段的长为半径作弧。

正确描述：如图（2），①作射线O1M1;②在图（1）上，以O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B;③以O1为圆心，OA的长为半径作弧，交O1M1于点C;④以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D;⑤过点D作射线O1D.则∠CO1D就是所要求作的角。

规范准确的语言描述，体现出对问题本质的理解，在我的引导下，学生尝试用规范准确的语言描述作图步骤，并完成了全部的作图步骤，同学们豁然开朗，体会到此作图过程正是依据“OA=O1C，OB=O1D，AB=CD，从而得到△AOB≌△CO1D（SSS）”的道理。

二、理解尺规作图的理论依据

发现问题：学生在练习尺规作图时，只是把图作出来就认为完成任务，却没有思考为什么要这样做，依据是什么？仅仅感到趣味，却没有理解其中的道理，不会应用，不会拓展，不能体会到知识的生成过程。例如：在学习“点与圆”、“直线与圆”的位置关系时，遇到求作三角形的内心与外心时，学生却不知所措。

解决办法：遇到这种情况，我引导学生先要理解所求作图形的特征，以内心为例，因为三角形的内心是三角形的内切圆的圆心，三边与圆同时相切， 圆心到三边的距离相等，这样就想到了角平分线的性质，也就是说我们要找的内心同时在三角形三个角的角平分线上，即它们的交点，有了这样的推理分析，学生就能理解内心的含义，从而很快地完成作图，细心的学生竟然很快发现，在作图时，只需做出两条角平分线即可，因为两条相交直线确定一个点，我又启发学生思考：“为什么没作出来的第三条角平分线一定过这点呢？”就这样，在学生的自主探究中，充分体会到了尺规作图的奥妙所在，获得了成功的喜悦感，在喜悦的促使下，动手操作更加规范、准确。他们在理解三角形内心的作图意义的基础上，再去作外心时，就是水到渠成、得心应手。形成了思考与推理的习惯，学生还能运用类比思想熟练地确定某段弧所在的圆和圆心、作正六边形、分割四边形等此类问题。

三、在解决实际问题中，感受尺规作图对思维的促进功能

例3：如图，RtΔABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，用圆规和直尺作图，用两种以上方法把它分成两个三角形，且要求其中一个三角形是等腰三角形。（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）。

这道题目综合性强，可以通过作线段、作线段的垂直平分线、作角平分线、作角等都可以完成，是尺规作图的拓展应用。因为学生已经掌握几种基本作图方法和原理，我采取让学生分组交流，合作探究的学习方式，鼓励学生尽可能想出多种作图方法来，充分拓展了学生的思维，学生可能想到的方法越多，就对知识点掌握越熟练，学习的兴趣和热情有了很大的提高。

再如，在人教版八年级数学上册教材中，有这样的实际问题：如图，电信部门要修一座电视信号发射塔。按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路OM和ON的距离也必须相等。发射塔P应修建在什么位置？在图上标出它的位置。

问题的提出就是旨在用基本的尺规作图解决实际问题，学生在作图的过程中既认识到了角平分线和线段垂直平分线的性质，又能感受到尺规作图在生活中的意义。因此，在尺规作图教学过程或课后作业中，补充条件开放和结论开放类型的作图题，或将实际生活中的问题数学化，基本作图方法生活化，激发了学生的应用意识，使学生认识到自己掌握的几种基本作图方法可以综合应用，扩大了学生的思维空间。课后，我还鼓励学生可以在板报设计，手抄报设计发挥自己的想象力，用自己已掌握的尺规作图方法设计美丽的图案，体会数学图形的简洁美、和谐美，激发学生探索欲望，提高学生的空间观念、逻辑思维能力和实践操作能力。

尺规作图操作规范、推理严谨，体现数学的学科特点与符合自然的数学美，是简洁美、和谐美的独特展示，在解决问题时，规范的尺规作图技能具有较强的综合性，实用性，能养成学生严谨的逻辑思维习惯和熟练的动手操作技能，并能理解求作图形的完成是规范作图和几何推理有机结合的结果，体会数学知识的生成过程。

现实中学生只有在题目有要求的时候，才用尺规作图，还不能熟练地把尺规作图用在一些添加辅助线的问题当中，没有形成自然的数学习惯。所以，从自身做起，严格要求自己，在对学生的辅导学习中，我要做好示范，规范自己的语言描述和作图步骤，用自己严谨的数学习惯在潜移默化中影响学生，使学生把规范尺规作图形成一种自然的数学习惯。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（CIP）.北京师范大学出版，2012.