一道未定式极限例题的解法探讨

摘 要：本文针对一道00型未定式极限例题，给出了七种解法，并对每一种解法进行了详细的分析。最后，通过解法的探讨，对未定式极限的教学经验进行了总结。

关键词：未定式极限;洛必达法则;等价无穷小

A Probe into the Solution to an Example of indeterminate form limit

You Junyan

School of Mathematics and Statistics，Heze University ShandongHeze 274000

Abstract：In this paper，seven solutions are given for an example of 0/0 tepy indeterminate form limit，and each solution is analyzed in detail.Finally，the teaching experience of indefinite limit is summarized through the discussion of the solution.

Key words：Indeterminate form limit，LHospitals rule，Equivalent infinitesimal

极限是学习高等数学的理论基础，同时也是分析函数连续性、可微性等性质的重要工具[1，2]。虽然求极限问题的方法有很多种，例如重要极限、无穷小的性质、无穷小与无穷大的关系、等价无穷小、洛必达法则等[3，4]，但基于极限问题形式的多样性，选择合适的方法进行求解是教学的重点，也是学生学习的重点与难点。在极限问题中，未定式极限是常见的类型，也是综合性最强的一种，所以求解未定式极限是学习极限的重中之重。因此，学好极限的求解，尤其是未定式极限的求解，一方面可以帮助学生更好地理解极限的定义、思想及其应用;另一方面，可以提高学生思维的灵活性，以及利用数学知识解决问题的能力，从而达到培养学生学习数学的兴趣以及自主学习的目的。

1 例题分析

本文分析的问题源自同济大学数学系编的第七版的《高等数学》（上册）第136页的例10，题目是求极限limx→0tanx-xx2sinx。

这是一道00型未定式极限问题，洛必达法则是最容易想到的方法。若直接使用洛必达法则，分母会变为2xsinx+x2cosx。显然，这不是理想的结果。此时，要求学生具有敏锐的观察力和分析问题的能力，既然直接用洛必达法则不是最想要的方法，那么从极限式的特点入手，注意到分母中可以先使用等价无穷小（当x→0时，sinx～x）的替换，再使用洛必达法则可以很大程度的简化计算，即有：

limx→0tanx-xx2sinx=limx→0tanx-xx3=limx→0secx-13x2

因此，问题转化为求解极限limx→0secx-13x2，在接下来的计算中分别给出七种计算方法，并在每一种方法中对每一步要进行的计算给出了详细的解释。

解法一：洛必达法则与等价无穷小结合使用，此方法正是教材中给出的方法。

原式=limx→0sec2x-13x2   00型，使用洛必达法则

=limx→02sec2xtanx6x 当x→0时，tanx～x

=limx→0sec2x3 當x→0时，sec2x→1

=13

解法二：三角恒等变换与等价无穷小的结合使用。

原式=limx→0sec2x-13x2secx=1cosx

=limx→01cos2x-13x2（分子进行通分）

=limx→01-cos2xcos2x3x2（1-cos2x=sin2x;当x→0时，cos2x→1）

=limx→0sin2x3x2 （当x→0时，sin2x～x2）

=13

解法三：在解法二中，对第三个等号处的cos2x先不取值，而是利用三角恒等变换sinxcosx=tanx，再结合使用等价无穷小的替换。

原式=limx→0sec2x-13x2=limx→01cos2x-13x2

=limx→01-cos2xcos2x3x2 1-cos2x=sin2x

=limx→0sin2xcos2x3x2 sin2xcos2x=tan2x

=limx→0tan2x3x2 当x→0时，tan2x～x2

=13

解法四：在解法二中，仅对第三个等号处的cos2x取值，分子中剩余的部分利用平方差公式变形，最后结合使用等价无穷小的替换。

原式=limx→0sec2x-13x2=limx→01cos2x-13x2

=limx→01-cos2xcos2x3x2 （当x→0时，cos2x→1）

=limx→01-cos2x3x2 （分子使用平方差公式變形）

=limx→0（1+cosx）（1-cosx）3x2

当x→0时，1+cosx→2;1-cosx～12x2

=limx→02·12x23x2

=13

解法五：直接利用三角恒等变换sec2x-1=tan2x，再结合使用等价无穷小。这也恰好是解法三最后得到的结论。显然，熟记这个公式要比解法三中的具体推导简单的多，并且解法五是求解此极限问题最简单的方法。

原式=limx→0sec2x-13x2=limx→0tan2x3x2=13

解法六：不使用洛必达法则，而是对分子利用平方差公式变形，再利用三角恒等变换，最后结合使用等价无穷小的替换。

原式=limx→0sec2x-13x2  （分子利用平方差公式变形）

=limx→0（secx+1）（secx-1）3x2 （当x→0时，secx+1→2）

=limx→02（secx-1）3x2 secx=1cosx

=limx→02·1-cosxcosx3x2当x→0时，cosx→1，1-cosx～12x2

=limx→02·12x23x2

=13

解法七：由解法六可得当x→0时，secx-1～12x2。因此，若能熟记这对等价无穷小，在解法六中的第三个等号处便可直接使用，不需要再进行具体的推导，将会简化计算。

原式=limx→0sec2x-13x2  （分子利用平方差公式变形）

=limx→0（secx+1）（secx-1）3x2 （当x→0时，secx+1→2）

=limx→02（secx-1）3x2当x→0时，secx-1～12x2

=limx→02·12x23x2

=13

2 教学总结

这是一道典型的00型未定式极限问题，通过以上的解法分析有几点想法总结如下：

（1）洛必达法则求解00型未定式极限时，与等价无穷小的替换结合使用效果会更佳。但等价无穷小的替换要注意形式的灵活性，在使用时要学会变通，例如当x→0时，sinx～x，则当x→0时，sinxn～xn，sinnx～xn。推广到更一般的结论有，当u（x）→0时，sinu（x）～u（x）。此推广结论对于其他的等价无穷小同样适用。

（2）这是一道与三角函数有关的未定式极限题目，除了结合等价无穷小的替换之外，还可以通过三角函数之间的恒等变换进行计算，有些甚至可以高大程度的简化计算。例如，secx=1cosx，sec2x-1=tan2x。此外，通过secx=1cosx与当x→0时，1-cosx～12x2还可以得到一对新的等价无穷小，即当x→0时，secx-1～12x2，这个可以作为结论直接使用。

（3）本文分析的七种方法不是完全独立的，只是侧重点不同，呈现出来的答案才有所区别，但并不是所有的未定式极限都存在一题多解。对于此类问题重要的是教给学生思考问题、分析问题以及解决问题的能力，进一步培养学生的发散思维，提高学生的计算能力。因此，在高等数学的教学中，在传授知识的同时，要加强对学生创新思维和学习兴趣的培养，帮助学生树立自信，鼓励学生参与到课堂中来，提高学生的观察力，培养学生良好的学习习惯。

参考文献：

[1]同济大学数学系编.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2014：34-137（7版）.

[2]华东师范大学数学系编.数学分析（上册）[M].4版.北京：高等教育出版社，2010：60-132.

[3]李茜.关于0/0型极限的解法探讨[J].贵州学院学报（自然科学版），2017，12（3）：5-6.

[4]张友梅，吴邦昆.00型极限的解法研究[J].玉溪师范学院学报（自然科学版），2016，32（8）：11-15.

作者简介：油俊彦（1987—），女，菏泽人，硕士，讲师，从事高等数学教育与研究。