不动点理论的发展历程及研究领域概要

李斌

摘 要：不动点理论的出现推动了数学、物理学等领域的发展，由此受到广泛关注。教师讲授不动点理论，能开阔学生的眼界，为学生将来的理论研究奠定扎实的基础。文章主要介绍不动点理论的发展历程以及不定点定理的实质，并对几个重要的不动点理论在已学知识中的应用加以探索和总结，以体现不动点理论应用的灵活性和广泛性。

关键词：不动点理论;数学;发展历程;实质

中图分类号：G642 文献标志码：A文章编号：1008-3561（2020）27-0110-02

不动点理论的探索兴起于20世纪初，荷兰数学家Brouwer在1909年创立了不动点理论。在此基础上，波兰数学家Banach提出了压缩映射原理，从而使不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的思想。美国数学家莱布尼茨于1923年发现了更为重要的不动点理论，并称为莱布尼茨不动点理论。1927年，丹麦数学家尼尔森进一步研究了不动点个数问题，从而提出了尼尔森数的概念。不动点理论的研究内容属于数学里的非线性泛函分析和一般拓扑学范畴，研究结果被广泛应用于非线性规划、分析数学、数理经济学、力学、微分方程、控制理论、最优化理论及博弈论等应用性学科和领域。本文对不动点理论的发展历程、实质以及一些著名的不动点理论进行论述。

一、不动点理论的发展历程

1909年，Brouwer发表了著名的不动点定理及一系列的论文，奠定了不动点理论的基础。1922年，波兰著名数学家巴拿赫提出了一个既简单又实用的压缩映射原理，称为巴拿赫压缩映射原理。巴拿赫压缩映射原理不仅提出了映射不动点的存在性及唯一性，还提出了一种求不动点的逼近方法。1941年，日本著名数学家角谷静夫的集值不动点理论为博弈论建立在数学基础上做了理论准备。1967年，Brouwer不动点定理的构造性证明被美国数学家Scarf找到，其使用的是计算单纯形连续映射不动点的组合拓扑有限算法。1968年Brouwer不动点定理被证明，1972年Himmelberg不动点定理被证明。1987年和1992年，Tarafdar分别在拓扑线性空间、H-空间建立的不动点定理都把不动点定理推向了更深远。

关于不动点理论的研究达到高潮是在1990年以后，把讨论不动点、几乎不动点、随机不动点等放在各种映射或空间条件下，新的不动点定理和各种迭代逼近方法不断出现，每年有大量论文发表。不动点理论研究的内容大部分属于非线性泛函分析和一般拓扑学范畴，其研究出的结果已经被广泛应用于数理经济学、分析数学、微分方程、控制理论、力学、最优化处理、非线性规划及博弈论等相应的学科。目前，关于不动点的理论发展，主要有两方面：第一，各类方程不动点的存在性、唯一性以及解集的性态研究，第二，某些算子不动点逼近算法的理论研究，其中解集性态的研究成为近年来国内外学者研究的热点。

二、不动点定理的实质

在泛函分析中，把某些分散在各个数学分支中的定理加以统一处理，如隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理。在泛函分析中，把它们都归结为一个定理既不动点定理，这正是抽象和统一的结果。关于算子方程Fx=x的求解问题的实质就是不动点定理，其在数学的各个分支中都是重要的基础理论，通常是用来求解关于具体问题解的存在及唯一性的重要定理。最著名的巴拿赫不动点定理，亦称压缩映射原理，在现代数学发展中有着重要的地位和作用，它提供了线性方程解的最佳逼近方法，给出了近似解的构造程序，在偏微分方程、不定积分方程等领域中也有着广泛的应用。

三、巴拿赫不动点定理

压缩映射原理又称为巴拿赫不动点定理或压缩映射定理，是泛函分析里一个重要的定理，其不仅提供了度量空间中如何求出这些不动点的构造性方法，并且论证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性及唯一性，在许多方程求解问题上都有着广泛的应用。这个定理是波兰数学家斯特凡·巴拿赫在1922年提出来的，并以此命名为巴拿赫定理。自此之后，许多数学研究人员在这方面进行了大量的研究，对该定理的推广产生了深远的理论和实际意义，取得了丰硕的成果。该不动点定理已经在数个领域有着深入且广泛的应用，如积分方程、代数方程、数学分析、微分方程、算子方程等学科。其中，许多方程解的存在性与唯一性都可以用巴拿赫不动点定理及推论加以证明。在高等数学课程讲授过程中融入巴拿赫不动点的思想，不仅对参加数学建模的学生有帮助，而且可以给参加大学生数学竞赛的学生提供更多的解题思路。在高数的后续课程，如微分方程、数学建模、泛函分析、图论中深入讲解巴拿赫不动点定理，也能开阔学生的眼界，为他们将来的理论研究奠定扎实的基础，激发学生积极探索的兴趣。

四、不动点迭代

不动点迭代的研究最开始是从一个球体的实际问题引出的非线性方程进行探索的，是在理解迭代规则Pk+1=g（Pk）的基础上，通过对迭代法和不动点迭代法的基本思想的融合，进而找出f（x）=0的同解变形x=g（x），然后给出初值x0，再运用迭代规则，求出误差范围内的近似解x≈Pk+1。迭代的步骤为：首先证明不动点的存在性，可以运用函数连续性，其次证明不动点唯一性，可以运用中值定理和均值定理，然后证明收敛性，可以运用均值定理及数学归纳法，并在此基础上引出误差边界的定义，这样就可以通过迭代求出非线性方程的近似解。再回到球体问题案例的求解中，进一步验证非线性方程求解过程中不动点迭代的优势。由此，可以发现不动点定理的迭代法在其他学科领域的算子方程中也有重要的实用价值。不动点的迭代通常用于收敛算子的近似值求解，但对于不收敛的非线性算子，可以拓展到加速迭代法的收敛性讨论，进而加速了对Steffensen加速迭代和Aitken加速迭代的研究，这也是以后研究的重点。

五、算子不动点

算子不动点理论是巴拿赫不动点定理一个重要应用，也是非线性泛函分析理论的重要研究领域，与近代数学的许多分支都有紧密的联系，如拓扑学理论空间、算子理论、近代分析、结构理论等。它经常用来求解泛函微分方程、非线性方程、确定性和随机性微分方程、函数方程、积分方程及各类算子方程等问题的解，并且用来判断解的存在性。除此之外，算子不动点理论也是许多经济均衡问题求解的重要工具。算子不动点理论更加具体化和代表性强，受到国内外学者的广泛研究，理论成果显著，每年都有大量的研究成果出现在各个领域。

总之，不动点理论是泛函分析和高等数学中的一个非常重要的理论，也是泛函分析教学中的一个难点。因此，教师应了解不动点理论的发展历程以及不定点定理的实质，并将一些不定点定理教授给学生，为学生更深层次的数学学习奠定坚实的基础，使学生能够利用不定点定理开展数学、物理学、经济学等相关学科的研究。

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