三体问题，究竟是否可解？

夏志宏

通过这么多年的观测和研究，人们越来越认识到，在物理世界中，稳定的现象其实是罕见的，不稳定才更常见。

今天我要讲的是“三体问题和天体运动”。大家可能都知道一本名为《三体》的小说，小说中的很多内容都涉及了三体运动的一些性质。今天我想从科学的角度讲一下三体和与之相关的一些很有趣的问题。

三体问题的由来

近代科学是从牛顿开始的。牛顿是一个非常了不起的科学家，他发现了微积分，发现了万有引力定律，奠定了牛顿力学的基础。

据说，牛顿在剑桥大学的一棵苹果树下睡午觉的时候，一个苹果掉下来砸在了他的头上，结果触发了他的灵感，让他发现了万有引力定律。当然，这只是一个传说。事实上，万有引力定律的发现，经过了牛顿之前几百年来众多科学家的共同观测和辛勤劳动，它是根據许多对太阳系行星的运动观测数据总结得来的，其中最著名的科学家应该是开普勒。

开普勒提出了“行星运动三大定律”。这三大定律又是从哪儿来的呢？是从一个叫第谷的天文学家那里得来的。

第谷这个人非常有意思，他是一位丹麦天文学家，脾气暴躁，年轻的时候跟人打架，还被人削掉了鼻子。他于是为自己做了一个金属的假鼻子，粘在自己脸上，并且一生都粘着这个假鼻子。第谷脾气不好，但是他跟国王的关系比较好，国王还专门给了他一座岛，方便他在岛上进行天文观测。第谷也是人类历史上最后一位用肉眼观测行星运动的天文学家。那时的观测任务非常艰难，不过国王给了他很多资源，甚至为他在岛上建了一家造纸厂，专供他研究需要使用的纸张。

进行天文研究工作一段时间后，新国王上位了，但新国王不喜欢第谷，第谷只好前往捷克继续他的天文学研究，因为那时捷克的国王很喜欢他。

第谷经常出入捷克王宫。不过意外的事情发生了，到达捷克后的第4年，有一天，他从王宫回来后居然死了。当时人们都在讨论为什么第谷从王宫回来就死了。虽然有人怀疑他可能是被毒死的，但更普遍的看法是，他在王宫喝了太多酒，出于作为一个贵族的礼节，他不好意思上厕所，结果憋尿憋死了。他可能是历史，上唯一一个被尿憋死的科学家。

当然，这种说法一直存在争议。所以在第谷死后300年，也就是1901年，人们把他的尸体挖了出来，想确定他是否真的是被毒死的。结果发现，第谷确实没有中毒，他真是因为憋尿导致膀胱破裂而死的。

特别倒霉的是，又过了100年，到了2001年，人们又开始争论关于第谷的另一件事——第谷因为打架让人给削了鼻子，那后来他给自己做的假鼻子是什么材料的呢？一部分人认为是金子做的，一部分人认为是银子做的。所以很不幸，第谷的尸体又被挖了出来。经过检查，他的假鼻子是铜做的。

这样一个人，真是有趣又倒霉，但就是他，奠定了万有引功定律的基础。

刚才说到，牛顿发现了微积分、牛顿力学和万有引力定律，这三个发现恰好把一个天文学问题变成了一个数学问题。为什么这么说呢？因为我们可以根据这些物理定律来精确计算行星运行的轨迹。

我毕业于南京大学天文系，但到美国后就开始做数学，其实我所做的一部分工作跟天文和数学都有关系。

大家可能知道，方程有代数方程，也有微分方程。天文学问题变成数学问题，从某种程度，上说，就是将预测天体运行变成了解组微分方程。

当然，这其中最简单的是二体问题，比如预测太阳和一个行星的运行轨迹。这时候要解的微分方程相对比较容易，人们可以把它的解写出来，而且经过简单训练的人，都可以通过微分方程得出二体问题的解。它的解是比较规范的，因为星体的运动相对规则。

但三体问题就比较复杂了，这也是我们今天要说的主题。举一个三体问题的例子，比如研究太阳和两个行星的运行轨迹，这就构成了一个三体问题。当然，也有可能是两个太阳一样的恒星外加一个行星那样的三体问题。当你看到一个三体问题的轨迹，你会发现，这三个点在空间中的运转呈现出一种非常复杂的形状，而且毫无规则。这也是三体问题非常基本的一个性质——三个天体的运动毫无规则可循。

我们的太阳系除了太阳，还有八大行星，还有冥王星这类的矮行星，还有几百万颗小行星，有的行星还有卫星，还有现在没发现的其他大行星……所以，仅太阳系这组微分方程就非常庞大、非常复杂了，远远超过三体问题，是多体问题了。我们现在连三体问题都很难解决，要解决多体问题就更难了。

三体问题是否可解？

三体问题是否可解？也就是说，有没有一个可解的公式？很遗憾，一般的微分方程都不存在一个解的公式，因为我们所掌握的函数太有限，用初等方法是没有办法写出解的。

学习过微积分的人可能知道，代数方程比微分方程要简单得多。一个二次方程谁都可以解，三次方程稍微看一下书的人也可以解，四次方程可能比较复杂，但也还是可以解的。到了五次方程以后，就再也不存在初等的解了。也就是说，无法用一个公式把五次方程的解写出来。当然，这并不是说五次方程无解。五次方程肯定有五个根，也肯定是有解的，但是我们没有办法把它的解用公式的形式写出来。著名的伽罗瓦理论和阿贝尔定理，都在讲五次方程不存在一个初等形式的解。

但是在牛顿所处的时代，还是有很多人试图解微分方程，他们最想做的事就是找首次积分，也叫经典解。

解方程需要找首次积分。能量积分、角动量积分、动量积分，这都是首次积分。人们花了几百年的时间想找三体问题的其他首次积分，但非常遗憾的是，直到现在，现代数学还是证明不存在其他的首次积分。

也就是说，用这种经典的方法去解三体问题是不可能的，在经典意义下，三体问题是不可解的。这反映到实际应用中是什么意思呢？

举个例子，比如你想知道100万年以后太阳系是什么样子的，因为我写不出来公式，所以就无法告诉你答案。不过，这并不等于没有解，解还是有的，只是我写不出它的公式。当然，我们可以让计算机来算，但这涉及另一个问题一误差。这种误差短期内很小，时间越长就越大。所以，几千年、几万年、几百万年以后，到底会发生什么，用现在的计算机得出的值做解答，是不可信的。这就说明，我们没有办法预测行星运动的未来。

虽然没法预测，但我们还是想知道行星运动的大概情况。比如，太阳系是不是稳定的？我们写不出解，但能否用其他数学分析方法得出太阳系是否稳定的答案呢？毕竟这对我们来说还是挺重要的。如果太阳系不稳定，地日距离就不稳定，离太阳太远地球会太冷，离太阳太近又会太热。

太阳系是稳定的吗？

牛顿（1642-1727）

不是的，行星运动是不稳定的。

上帝控制着行星运动，每隔一段时间就推一下，使其在固有的轨道上运转。

可能牛顿的脑袋给苹果砸坏了！

18世纪冲破宗教束缚后，牛顿的思想受到了科学家莱布尼茨等人的激烈批判。

小说《三体》中就描述了这样一个世界：它有3个太阳，而且运转得非常没有规律，有时候3个太阳会同时出现，过高的温度把行星上的人全都烧死了，甚至烧成另外一种生命形态。所以，我们对这类问题还是很感兴趣的。

牛顿就认为行星运动是不稳定的。他非常相信上帝，后半生一直试图用数学方法证明上帝的存在。他同时认为，太阳系不稳定，但如果有，上帝帮忙，每隔一段时间来推动一下地球，就可以解决系统紊乱的问题了。

现在的，人们很难想象，牛顿居然花了很长时间，用数学公式去推导，上帝哪天会来推地球。虽然牛顿生活在文艺复兴时期，那时大家的思想都比较开放，但牛顿的这种想法仍然受到了众多科学家的批判。

那时候，基本上所有的大科学家都想研究三体问题，因为这是一个大到没法解决的问题。每个科学家都有自己的想法，有的认为行星运动是长期稳定的，有的认为不稳定，他们都有自己的证明方法。

但是，通过这么多年的观测和研究，人们越来越认识到，在物理世界中，稳定的现象其实是罕见的，不稳定才更常见。这种不稳定现象，套用一个现代的词汇，就叫作“混沌”。

什么是混沌？

下面我要告诉大家什么是混沌，希望听完之后，你们也可以轻松地告诉其他人什么是混沌。

提到混沌，就不得不说一段有趣的历史。生活在19世纪的奥斯卡二世，是当时瑞典的国王，同时也是挪威的国王。他是一个很有意思的人，非常喜欢艺术和科学，读的数学书也很多，经常请一些科学家去为他做讲座。

在他七十大寿的前两年，有个叫米塔格·莱夫勒的数学家建议他成立一个科学大奖，在两年后国王七十大寿的宴会上颁发。这个奖就是为谁能解决三体问题而设置的。当然，我们现在知道三体问题不可解，所以这个奖其实是白设的。

很多人疑惑，为什么诺贝尔奖不设立数学奖，据说就是因为这个米塔格·莱夫勒，把诺贝尔心仪的女孩子抢走了。当然，这也只是一个坊间传闻。

前面提到，奥斯卡二世特别喜欢科学。某一天，他请巴黎大学的一个数学家来宫廷做讲座，这个数学家叫潘勒韦。潘勒韦是第84届和第92届法国总理，同时他还是一个数学家。

在为奥斯卡二世做講座的时候，潘勒韦提出了一个猜想一在几个星体通过万有引力相互作用时，其中某个星体可能会在有限时间内，被其他星体甩到无限远的地方去。潘勒韦猜想提出近100年后，我在我的博士论文里终于把这个问题给解决了。

为什么我能解决呢？其实是因为我们现在对三体或者多体的系统有了更进一步的认识，我们知道了一种叫“混沌”的结构，我就是用混沌的机理去解决潘勒韦猜想的。

回到刚才说的奥斯卡二世设置的大奖。跟潘勒韦一起参与夺奖的还有另一位数学家庞加莱。庞加莱对数学的影响也非常大。

当时，庞加莱写了一篇文章参加大奖的角逐，宣称自己解决了三体问题，于是评奖委员会将奥斯卡二世的大奖颁给了他。结果，庞加莱的一个学生很快就发现他的文章里有一个致命的错误。这就麻烦了，大奖居然颁给了发表错误文章的庞加莱。庞加莱开始意识到三体问题的复杂性，于是他重新写了一篇文章。在这篇文章里，他首次提到了混沌现象。

最后，评委会主席魏尔斯特拉斯认为，尽管庞加莱没有解决三体问题，但因为重写的新文章非常重要，所以仍然决定把大奖颁给他。

有趣的是，大奖金额约是庞加莱两个月的工资，但因为他写错了一篇文章，就必须自己重新写、重新印刷、重新发行印有文章的那期杂志，结果这一折腾，花了他4个月的工资。算下来，他还亏了两个月的工资呢。

混沌与不稳定性

什么叫混沌？我们从一个故事讲起。一位印度数学家发明了国际象棋，国王决定给他一个奖赏。数学家说很简单，我要的奖赏是：你在国际象棋棋盘的第一格上放1颗麦子，在第二格上放2颗麦子，在第三格上放4颗麦子，在第四格，上放8颗麦子.....以此类推，你只要把这个棋盘的格子都放满就行了。

国王一听，心想这很简单，不过就是几颗麦子而已。但我们来看一看，如果要满足数学家的要求，到底需要多少颗麦子呢？

国际象棋的棋盘上一共有64个格子，那就需要2”'-1颗麦子！我们换算一下，看看这些麦子一共是多少升。是140万亿升！

从人类种麦子到现在，全球生产的麦子也没有这么多。按照现在的产量，估计要再等2000年才能把这么多的麦子生产出来。

这个例子说明，经过一次次加倍，加到倍数是63次方以后，这个数字将变成一个天文数字。所以，任何数据都不能一次次加倍。比如，想要GDP每7年就增加1倍，如果真按这个速度算下去，那将是一个无法想象的数字。所以，几何级数的增长速度是特别快的。

那么这跟我们的物理系统有什么联系呢？举个例子，假如我在一个盒子里放几个空气分子，我先测量这些分子的初始位置和初始速度，并且我的测量只有很小的误差。通过观察这些分子的运动情况，你会发现，因为分子运动是非常不稳定的，所以不到1秒钟，之前的测量误差就会加倍，再隔1秒钟，误差又会加倍。我说1秒钟，其实这种加倍根本不需要1秒钟就会发生。那么在60秒后，原来的误差值就可能变成刚才你们看到的那个天文数字了。