电磁作动器非线性输出力建模方法

刘伟　高扬

摘 要：針对具有复杂磁场分布的电磁作动器非线性输出力建模问题，提出一种实验测试和回归分析相结合的建模方法。通过标定实验测量磁场工作区域内若干不同空间位置点处的电磁力，基于标定实验数据，采用多项式回归方法和高斯过程回归方法建立电磁力模型。基于多项式回归方法建立电磁力的多项式形式的参数模型，通过最小二乘法计算多项式模型系数。基于高斯过程回归方法建立电磁力的条件概率模型，分析协方差函数的选择以及超参数的优化确定算法。以空间微重力主动隔振装置中电磁作动器为例，对比多项式电磁力模型和高斯过程回归电磁力模型的预测精度和计算效率。多项式电磁力模型的一次预测计算时间小于1 ns，主方向电磁力的预测精度优于12.5‰。高斯过程回归电磁力模型的一次预测计算时间约为24 ms，主方向电磁力的预测精度优于8‰。

关键词：电磁作动器;非线性;实验法建模;多项式回归;高斯过程回归

DOI：10.15938/j.emc.2020.09.013

中图分类号：TM 571

文献标志码：A

文章编号：1007-449X（2020）09-0115-11

Modelling method for nonlinear output force of electromagnetic actuator

LIU Wei1，2， GAO Yang1，2

（1.Technology and Engineering Center for Space Utilization， Chinese Academy of Sciences， Beijing 100094， China;2.University of Chinese Academy of Sciences， Beijing 100049， China）

Abstract：

A modelling method combining experimental test and regression analysis is proposed for nonlinear output force of electromagnetic actuator with complex magnetic field distribution. The electromagnetic force at several different spatial points in the working area of magnetic field was measured through the calibration experiment. Based on the calibration experimental data， the electromagnetic force model was established by polynomial regression method and Gaussian process regression method. Based on the polynomial regression method， the polynomial parameter model of electromagnetic force was established， and the coefficient of the polynomial model was calculated by the least square method. Based on the Gaussian process regression method， the conditional probability model of electromagnetic force was established， and the selection of covariance function and the optimization algorithm of super parameters were analyzed. Taking an electromagnetic actuator used in an active vibration isolation device for space microgravity as an example， the prediction accuracy and calculation efficiency of the polynomial model of electromagnetic force and the Gaussian process regression model of electromagnetic force were compared. The calculation time of the polynomial model of electromagnetic force in one prediction is less than 1 ns， and the prediction accuracy of electromagnetic force in the main direction is better than 12.5‰. The calculation time of the Gaussian process regression model of electromagnetic force in one prediction is about 24 ms， and the prediction accuracy of electromagnetic force in the main direction is better than 8‰.

Keywords：electromagnetic actuator; nonlinear; experimental modelling; polynomial regression; Gaussian process regression

0 引 言

电磁作动器具有无机械接触、无摩擦、寿命长、输出力精度高等优点，应用广泛。电磁作动器的工作原理有2种：1）变化的電流产生可控的电磁场，该电磁场对置于其中的导磁材料（也称衔铁）产生作用力;2）永磁铁或电磁铁产生稳定磁场，通电导线在该磁场中受到洛伦兹力从而产生力的输出。原理1）的电磁作动器输出力方向不受电流控制，电磁铁与导磁材料之间的气隙间隙一般小于1 mm，其典型应用为主动磁悬浮轴承[1-2]以及永磁作动机构断路器[3-4]等。原理2）的电磁作动器，也称为音圈电机（voice coil motor，VCM），其输出力随通电导线中电流变化而变化，通电导线在磁场区域的活动行程可达厘米级，其典型应用为空间微重力隔振平台[5-6]、高精密主动减振机械[7-8]以及电磁对接分离机构[9-10]等。

建立高精度的电磁作动器输出力模型，是实现电磁作动器高性能控制的关键。然而，在具有一定范围的磁场工作区域，由于空间和质量等工程约束，同时考虑到漏磁通和气隙边缘效应等影响，理论上无法设计出具有恒定磁场强度的线性空间。此外，由于加工工艺水平和机装精度的制约，实际电磁作动器的结构尺寸、线圈匝数及其平行度、永磁体与线圈的装配关系（气隙距离、垂直关系）等，必然与理论设计值存在一定的差别，进而加剧了磁场分布非线性的复杂度。目前，电磁作动器输出力建模方法有机理分析方法建模[11-12]、有限元分析法建模[13-15]以及实验法建模[16-17]。

机理分析方法建模是根据过程的内部机理和运动规律，基于公认的定律、原理建立数学模型的方法。机理建模通常是在假定磁场均匀并忽略漏磁通、边缘效应等因素的理想条件下进行的。由于加工工艺水平的制约，电磁作动器产品与理论设计值有一定的差别，导致机理建模的模型误差较大。赵志锋等[18]基于等效磁路法建立的机理模型，应用MTS809获取电磁作动器的输出力数据，采用最小二乘法辨识机理模型参数。该方法依赖于机理模型的准确性，具有一定的局限性。

有限元分析法建模是指利用数学近似的方法对真实物理系统进行模拟，基于单元元素，用有限数量的未知量去逼近连续的真实系统。有限元分析法建模较为精确，但是计算量较大，过程复杂，且有限元模型的精度仍需通过实验加以验证。宁一高等[19]采用ANSYS软件建立了电磁作动器的输出力模型，分析了影响电磁力的参数，通过对比实验测试结果得出电磁力模型的最大误差达11.6%;其有限元分析法建模的电磁力精度仍需实验法进行验证。Rita Mbayed等[20]基于电磁作动器的实验测试数据，建立了混合励磁同步电机的有限仿真模型，考虑了饱和效应、铁损耗和高阶电磁力谐波;其模型精度优于Park模型，但过程复杂、计算繁琐。

实验法建模是指根据输入、输出的实测数据进行数学处理后得到的模型。因此，对于具有复杂磁场分布的电磁作动器，可以采用实验法建立其输出力模型，无需考虑内部机理过程，建模过程简单，模型精度取决于输入、输出数据的测量精度以及对数据的数学处理方法。出于改进数据数学处理方法的目的，李鹏等[21]研发了一套用于静态标定电磁作动器等效磁场强度的自动测试系统，使用MATLAB中的regress函数对测试数据进行不同阶次拟合处理，从而建立空间位置、通电线圈电流与等效磁场强度的数学模型，其对实验测量数据的处理方法类似于统计机器学习中的回归问题。

回归问题是指根据已知实验数据，建立输入变量（自变量）到输出变量（因变量）之间的映射函数模型;并且该模型能够对任意给定输入的相应输出做出一个好的预测。这里的已知实验数据，亦称训练数据集合，即电磁作动器输出力实验法建模中测量得到的输入、输出数据。回归问题的建模可以采用多项式回归方法[22-24]和高斯过程回归方法[25-27]。多项式回归方法可以很好地实现对已知实验数据的拟合，只要数据没有重复测量值（重复测量值是指同一输入变量下输出值不同），那么总能找到一个足够高次的多项式回归模型完全拟合数据，但是由此可能产生“过拟合”现象。过拟合是指选择的多项式模型阶次过高，以至于出现这一模型对已知数据匹配得很好，但对未知数据预测得很差的现象。为防止过拟合，通常采用正则化与交叉验证的方法确定多项式模型的阶次[28]。高斯过程回归方法是一种统计机器的学习方法，适用于处理高维数、小样本和非线性等复杂回归问题。高斯过程回归的前提假设条件是：给定一些输入变量的值，对应的输出值服从联合正态分布。基于贝叶斯理论和统计机器学习理论，高斯过程回归建立了非参数概率模型，不仅能够对未知输入进行预测输出，而且对预测精度的估计方差进行定量分析，已广泛应用于时间序列预测分析、动态系统模型辨识、控制系统设计以及滤波算法状态估计等领域。一种好的输出力模型建立方法应该同时兼备预测精度高、计算量小的特点，是值得深入研究的问题。

本文结合实验测试和回归分析，提出了一种通用的电磁作动器输出力高精度混合建模方法。该建模方法包括2个步骤：1）实验测试设计。参照文献[21]中电磁作动器静态推力标定测试的设计过程，在磁场的工作区域内，在通电线圈输入恒定电流下，测量一定数量的位置点处通电线圈的输出力;2）回归方法建模。基于实验测试得到的部分位置处电磁作动器的输出力数据，分别采用多项式回归方法和高斯过程回归方法建立了输出力的参数模型和条件概率模型。最后，以空间微重力主动隔振装置[29-30]中实际使用的电磁作动器为例，建立输出力模型，测试模型的预测精度，并比较一次预测的计算量和计算时间。实验测试和回归分析相结合的输出力建模方法精度高，不依赖于机理模型，具有很强的通用性，特别适用于解决具有复杂磁场分布的电磁作动器输出力建模问题。

1 混合建模方法

1.1 实验测试设计

针对基于洛伦兹力原理的电磁作动器，介绍实验法建模的测试原理和测试过程。由安培力公式可知，电磁作动器的输出力F与磁场强度B、等效线圈长度L和通电线圈中的电流I相关，即

F=L·I×B。（1）

电磁作动器的磁场分布在严格意义上都是非线性的，其磁场强度与通电线圈在磁场中的空间位置相关。由于通电线圈中电流产生的磁場强度远弱于永磁铁产生的磁场强度，因此可以认为磁场强度与通电线圈中的电流无关。电磁作动器的输出力测量模型可表示为

Fa=∑3i=1fi（x，y，z）·Ii。（2）

式中：Ii（i=1，2，3）分别为通电线圈的电流在X、Y和Z方向的分量，其中X、Y和Z为定义的电磁作动器本体坐标系的三轴方向;当通电线圈的电流方向沿坐标轴正方向时，Ii>0;反之，Ii<0;（x，y，z）是通电线圈在磁场中的空间位置;fi（x，y，z）本质上是在位置点（x，y，z）处的磁场强度与等效线圈长度的乘积，定义该乘积为等效磁场强度。当通电线圈在磁场工作区域中发生转动时，通电线圈中的电流可以根据姿态转动信息分解到X、Y和Z轴3个方向上，再利用式（2）计算电磁作动器的输出力。由此可知，通电线圈转动运动的影响已体现在电流的方向变化中，故等效磁场强度fi（x，y，z）的实验测试无需考虑通电线圈的姿态变化。

根据电磁作动器的输出力测量模型，电磁作动器等效磁场强度的实验测试过程设计如下：

1）确定实验测试的测试位置点。在磁场的工作区域内进行网格划分，网格节点作为实验测试的位置点。一种实用的网格划分方式为在X、Y和Z方向的取值范围内等间距地取若干点。当然，针对不同的电磁作动器和应用任务，网格划分方式可以灵活选择，例如当工作区域中某一或某些局部区域是重点关注或磁场分布更复杂的部分，该局部区域的网格相对其它区域可进行更密集地划分，增加测试位置点的数量，提高模型的预测精度。

2）确定通电线圈中的电流大小和方向。根据式（2）表示的电磁作动器输出力测试模型，通电线圈的电流方向需要分别在沿X、Y和Z方向下进行实验测试。通电线圈的电流大小可以按照以下原则进行确定：一是考虑电磁作动器输入电流限制;二是将电磁作动器可能的工作电流值作为实验测试中通电线圈的输入电流值，这样电磁作动器的实验测试过程更接近于实际工作状态，对测量输出力的实验法建模更具信服力;三是考虑实验测试中力传感器的测量量程和精度约束。通电线圈的输出力既不能超出力传感器的测量量程，又不能接近甚至小于力传感器的测量噪声，导致测量不精确。

3）测量电磁作动器的输出力。在第1）步和第2）步的基础上，设计实验测试装置和选择力传感器型号，测量电磁作动器的输出力。实验装置主要包括位移台和辅助工装。位移台用于实现通电线圈平行移动到测试位置点处。辅助工装用于电磁作动器、位移台和力传感器的连接。力传感器选型的主要依据是测量精度。根据电磁作动器输出力的精度要求确定力传感器的精度。通常实验测试中力传感器的精度高出电磁作动器输出力精度的2～10倍。此外，力传感器的测量量程以实验测试过程读数处于满量程的20%～80%区间为依据进行确定。

通过上述实验测试，获得不同测试位置点的输出力数据，为回归方法建立电磁作动器输出力模型奠定基础。

1.2 回归方法建模

本文的回归问题是基于实验测试获得的测试位置点、输出力数据集，建立等效磁场强度与位置之间的函数关系，从而实现对磁场工作区域内任意位置点处等效磁场强度的高精度预测。由式（2）和实验测试过程可知，根据通电线圈中输入电流的方向将实验测试分成3组，每组均包含3个方向的等效磁场强度，因此共计需要建立9个等效磁场强度模型。这9个等效磁场强度模型均可表示为

B=F/I=f（x，y，z）+υ。（3）

式中：B为等效磁场强度的测量值;F为力传感器测量的输出力;I为通电线圈中电流;f（x，y，z）为等效磁场强度的真实值;υ为力传感器的测量误差。根据实验测试的输出力和输入电流数据计算得到等效磁场强度的测量值，结合相应的三维位置信息，作为建立等效磁场强度模型的训练数据集合。

1.2.1 多项式回归

多项式回归方法是指采用多项式模型拟合训练数据集合中的等效磁场强度和空间位置变量，以空间位置变量的三元多项式形式表征等效磁场强度，即

B=∑nk=0∑n-kp=0∑n-k-pq=0Ckpqxkypzq+Ο（rn+1）+υ。（4）

式中：Ckpq为多项式模型系数;n为多项式模型阶次;Ο（rn+1）为空间位置（x，y，z）的高阶项。当n=0时，等效磁场强度B与空间位置无关，对应匀强磁场分布。

多项式回归方法的关键是确定多项式模型的阶次以及多项式的系数。多项式模型的阶次越高，对训练数据集合的拟合精度越高，但由于可能发生的“过拟合”问题将导致其预测精度变差，因此通常首先确定多项式模型的阶次。对多项式模型的阶次有多种方法可以进行辨识，如根据Hankel矩阵的秩估计模型的阶次、F-Test定阶法利用残差的方差估计模型的阶次等。另一种简单的思路是通过对实验测试数据作图，粗略地判断模型的可能阶次，选择几组模型阶次建立多项式回归模型，最后通过模型预测检验确定满足精度要求的多项式模型。

在确定了多项式模型的阶次之后，根据式（4）优化计算多项式的系数，从而实现对任意位置的等效磁场强度进行计算，再代入式（2）中即可得到电磁作动器的输出力。本文采用最小二乘法计算多项式模型的系数。针对N组实验测试数据，将式（4）所示的测量模型改写成矩阵形式，即

BNN=PNN·Cn+ΟNN（rn+1）+υNN。（5）

式中：PNN=[P1P2…PN]T是N组测试数据的位置值，其中Pm=[1xmymzm…xnmxn-1mym…znm]T（m=1，2，…，N）表示第m组测试数据的位置值;BNN=[B1B2…BN]T为N组测试数据的等效磁场强度;Cn=[C000C100…C00n]T为多项式模型系数。

忽略n+1次高阶项误差和传感器测量噪声，采用最小二乘法可得拟合系数矩阵为

Cn=（PTNN·PNN）-1·PTNN·BNN。（6）

联立式（4）和式（6）可得多项式回归方法建立的电磁作动器等效磁场强度为

B=PT·（PTNN·PNN）-1·PTNN·BNN。（7）

基于式（7）多项式模型即可计算得到磁场工作区域内任意位置点（x，y，z）处的等效磁场强度B。以加、减、乘、除的总次数评估计算量。在多项式模型系数Cn确定后，（PTNN·PNN）-1·PTNN·BNN是定常的C3n+3×1维矩阵。一次预测的计算量Np为1×C3n+3维矩阵PT的计算量及其与C3n+3×1维矩阵（PTNN·PNN）-1·PTNN·BNN相乘的计算量之和，即

Np=nC3n+3-∑n+3i=4C3i+2C3n+3-1。（8）

多项式模型对任一位置处等效磁场强度的计算量Np仅与模型阶数n有关，与实验测试数据量N无关。

1.2.2 高斯过程回归

高斯过程回归建模是指对实验测试的空间位置向量r=[xyz]T（输入向量）与等效磁场强度B（目标输出）之间的关系f（r）进行推断，即在给定输入向量时确定目标输出的条件分布。此处f（r）即等效磁场强度测量模型式（3）中的f（x，y，z）。

在电磁作动器输出力高斯过程回归建模过程中，假设f（r1）、f（r2）、…、f（rN）服从多元联合高斯分布，其性质完全由均值函数和协方差函数确定，即

m（r）=E[f（r）]，

k（r，r′）=E{[f（r）-m（r）][f（r′）-m（r′）]}。（9）

式中r、r′為磁场工作区域内的任意随机变量。因此，高斯过程可以定义为f（r）～GP[m（r），k（r，r′）]。通常为了符号上的简洁，会对数据进行预处理，即让其均值函数为0。

电磁作动器等效磁场强度测量模型如式（3）所示，包含了力传感器的测量噪声。力传感器的测量噪声可以看成是独立同分布的高斯噪声，即υ～N（0，σ2n）。等效磁场强度的先验分布为

BNN～N（0，K（R，R）+σ2nIN）。（10）

式中：R是实验测试中N个空间位置矢量构成的3×N维矩阵;IN是N×N维单位矩阵;K（R，R）=（kij）为N×N阶对称正定的协方差矩阵，矩阵元素kij=k（ri，rj）用来度量ri和rj之间的相关性。

对于磁场工作区域中任意空间点的位置矢量r=[xyz]T及对应的预测等效磁场强度B，与实验测试数据集的联合分布为

BNNB～N0，K（R，R）+σ2nINK（R，r）K（r，R）k（r，r）。（11）

式中：K（R，r）=K（r，R）T为预测点r与实验测试数据集的输入R之间的N×1阶协方差矩阵;k（r，r）为预测点r自身的协方差矩阵。

根据贝叶斯定理，可以计算出预测等效磁场强度B的后验分布为：

B|R，BNN，r～N（B-，cov（B）），

B-=K（r，R）·[K（R，R）+σ2nIN]-1·BNN，

cov（B）=k（r，r）-K（r，R）·

[K（R，R）+σ2nIN]-1·K（R，r）。（12）

式中：B-是等效磁场强度B的预测均值;cov（B）是等效磁场强度B的预测方差。由此可见，协方差函数k（r，r′）是确定高斯过程回归模型的关键。

1）协方差函数确定。

在高斯回归过程建模中，任何半正定矩阵在理论上都可以是协方差函数。表1列举了一些典型的协方差函数。其中：d=r-r′和参数l是过程中的特征长度尺寸;δ是克罗内克函数;σ是噪声波动的标准差。

由于半正定矩阵的和、差、乘积仍为半正定矩阵，因此在建立高斯过程回归电磁力模型时，可以通过对实验测试数据作图，分析图像的分布特性、周期特性、是否带有噪声等特点，采用表1中的协方差函数或其组合作为协方差函数的结构假设。

2）超参数确定。

高斯过程回归建模的关键是找到一个协方差函数k（r，r′，θ）能最好地拟合数据集（R，BNN），其中θ是协方差函数的超参数。根据概率计算贝叶斯公式可得f（r）的后验概率为

式中H是对协方差函数结构的假设功能。由式（13）可得基于f（r）的一个边缘似然为

对协方差函数的超参数θ的优化可通过最大化边缘对数似然来实现，即

θ=arcmaxlogp（BNN|R，H，θ）。（15）

以平方指数协方差函数为例，超参数θ={l，σ，σn}。条件概率的对数似然函数及其关于超参数θ的偏导数为：

采用共轭梯度法、牛顿法等优化方法对偏导数进行最大化以得到超参数的最优解，然后利用式（12）高斯过程回归模型便可计算磁场工作区域内任意空间点r处的等效磁场强度B的预测值B-和预测方差cov（B）。在统计高斯过程回归模型的计算量时，[K（R，R）+σ2nIN]-1看成是1个N×N维的常值矩阵。基于式（12）计算预测值B-的计算量为

NG=（N+1）（2N-1）。（17）

高斯过程回归模型对任一位置处等效磁场强度的计算量NG仅与实验测试数据量N有关。

2 测试验证

中国科学院空间应用工程与技术中心研制的空间微重力主动隔振装置（microgravity active vibration isolation system， MAIS），如图1所示，于2017年4月20日搭载中国第一艘货运飞船TZ-1进行了在轨实验，采用磁悬浮控制技术，隔离从航天器传来的各种振动，为科学实验载荷提供高微重力环境。MAIS主体由浮子和定子两部分组成。浮子是科学实验载荷的支承平台，为其提供高微重力环境。定子固联在航天器上，通过脐带线为浮子和载荷提供通讯和电接口。

MAIS是利用非接触式电磁激励器、高精度加速度计和位移传感器进行隔振控制的定子和浮子结构平台。通过加速度计感知实验载荷所受的振动加速度，通过位移传感器来感知实验载荷与隔振平台相对位置的变化。加速度和位移信息送到系统控制器，采取闭环控制策略计算需要施加给电磁作动器的电流，产生与扰动大小相等、方向相反的作用力来抵消扰动对载荷的干扰，同时保持浮子不与定子碰撞，起到振动隔离的目的。MAIS执行机构由8组单轴电磁作动器构成，为主动隔振控制系统输出空间六自由度控制所需的力和力矩作用。电磁作动器[31]由永磁铁、通电线圈和磁轭组成，如图2所示。永磁铁固联安装在浮子支撑板的同一平面上，通电线圈固联安装在定子底板的同一高度上。永磁铁为钕铁硼磁铁N50M，截面为15 mm边长的正方形，厚度为20 mm。通电线圈厚度为6 mm，线毂边宽1 mm。磁轭材料为DT4纯铁，截面积为145 mm2，磁轭上部下端与永磁体上端的距离为42 mm。2块永磁铁端面距離为28 mm。电磁作动器坐标系，简称系，定义如下：坐标原点O为永磁铁N、S极端面中心连线段的中点;X轴为永磁铁N、S极端面中心连线且由N极指向S极;Z轴指向电流正方向;Y轴垂直于X轴和Z轴，构成右手坐标系;电流自a端进入若干圈后从b端流出;永磁铁N、S极如图2所示。

为实现MAIS执行机构的高精度输出控制作用，需要建立电磁作动器的高精度输出力模型。由于MAIS浮子相对定子的行程设计范围为±10 mm，故通电线圈相对永磁铁间隙大于20 mm（实际为24 mm），磁场分布的非线性无法忽略。因此，采用实验法建立MAIS电磁作动器输出力模型，并对本文所提出的回归方法进行测试验证。

电磁作动器输出力静态标定测试系统，包括硬件和测试软件。测试系统硬件设备主要包括含力传感器（精度2 mN）、力值显示控制仪、三轴位移台、电机驱动器模块及数据接收分发模块。测试系统软件采用LabVIEW编程技术，具有电机驱动、力值采集和数据处理等功能。在电磁作动器等效磁场强度建模的过程中，通电线圈电流分别沿X、Y、Z三轴方向进行3组测试。3组测试过程和数据处理方法完全一致，因此下文仅以通电线圈电流沿Z方向为例展开详细说明。

2.1 标定测试实验

电磁作动器的实验测试设计如下：电磁作动器线圈输入1 A恒定电流，且线圈平行于永磁铁N、S极端面。在电磁作动器坐标系±9 mm的立体三维工作空间内，以1.8 mm为步长进行等间距网格划分，共计113=1331个测试位置点。在每个测试位置点，用高精度力传感器（精度2 mN）测量永磁铁受到的X、Y和Z方向的作用力，如图3所示。

2.2 实验数据处理

1）作图分析。

根据实验测试数据和式（3）计算得到不同空间位置点处的等效磁场强度。通过作图获得等效磁场强度在工作空间的分布情况，如图4～图6所示。

图4～图6中，（a）图表示Z=0时，等效磁场强度在XY平面的分布情况，用单位电流输出力大小表征;（b）图表示X=0时，等效磁场强度在YZ平面的分布情况;（c）图表示Y=0时，等效磁场强度在XZ平面的分布情况;（d）图表示等效磁场强度在三维空间中的分布情况。

分析图4～图6可知，Y方向为该电磁作动器的输出力主方向，满足安培力左手定则。Z方向（电流方向）输出力小于主方向输出力的10%。X方向（磁铁N极指向S极方向）输出力沿空间位置Z方向变化很小;在空间位置X、Y方向的中心区域较小，边缘位置达到甚至超过主方向输出力的50%。从整体的分布情况看，等效磁场强度与空间位置的关系呈现线性或二次曲线的分布特点。因此，采用多项式回归方法建模时多项式模型阶数可取n=2～4;采用高斯过程回归方法建模时协方差函数可选择平方指数协方差形式。

为了检验并比较多项式模型和高斯过程回归模型的精度水平，当不进行额外的位置点测试时，需要从目前的实验测试数据中选择部分数据作为测试数据集合，其余数据作为建立模型所依据的训练数据集合。本文测试数据集合选择空间位置坐标X、Y、Z为±1.8 mm、±5.4 mm和±7.2 mm的任意组合构成的数据点集合，该集合共计216个数据点;实验测试的其余数据点的集合作为训练数据集合，共计1 115个数据点。

2）建模和评价。

基于上述训练数据集合，采用多项式回归方法建立电磁作动器等效磁场强度的多项式参数模型;采用高斯过程回归方法建立电磁作动器等效磁场强度的条件概率模型。其中，二阶多项式模型和高斯过程回归模型的相关参数如表2、表3所示。

基于多项式回归方法建立的多项式参数模型和高斯过程回归方法建立的条件概率模型，对测试数据集合进行预测。比较模型预测结果与实验测量结果，二者之差称之为预测误差，如图7～图9所示。

评价模型的优劣主要体现在预测精度和计算效率2个方面，如表4～表6所示。预测误差反应了模型的预测精度。预测误差的主要特征包括均值、均方差和最大值。计算量是衡量模型的计算效率的一个方面。当然，计算方法，如并行计算，可以大大提高计算效率。此外，当代计算机硬件水平的发展，计算效率也有了很大提高。采用ThinkPad X250笔记本电脑和MATLAB R2015b软件，计算不同模型一次预测的计算时间。

分析上述结果可知：

1）电磁作动器输出力主方向（Y方向）的等效磁场强度在-2.2 ～ -1.2 N/A，多项式模型和高斯过程回归模型的预测误差均小于0.024 N/A，故最大相对误差小于2%。验证了多项式回归方法和高斯过程回归方法建立MAIS电磁作动器输出力模型的有效性。

2）二阶、三阶和四阶多项式模型相比较，多项式模型的阶数越高，模型预测误差的均值、均方差和最大值都越小，但是一次预测的计算量越大，计算时间越长。

3）多项式模型与高斯过程回归模型相比较，基于本次实驗测试数据量和多项式模型阶数，高斯过程回归模型的模型预测误差的均方差、最大值都更小，但计算量和计算时间更大。

3 结 论

针对复杂磁场分布的电磁作动器输出力建模问题，基于实验测试数据，采用多项式回归方法建立了多项式形式的参数模型;采用高斯过程回归方法建立了条件概率模型。多项式模型的阶数越高，对实验数据集的拟合精度越高，但由于可能发生的“过拟合”问题将导致其预测精度变差。多项式模型的一次预测的计算量仅与模型阶数有关，模型阶数越高计算量越大。高斯过程回归模型是基于多元高斯联合分布假设条件下采用贝叶斯方法建立的条件概率模型，其核心问题是协方差函数的确定和超参数的优化。高斯过程回归模型的一次预测的计算量仅与实验测试数据量有关，实验测试数据量越大计算量越大，同时预测精度越高。

在MAIS的电磁作动器的输出力建模过程中，多项式回归方法和高斯过程回归方法都得到了有效验证。多项式模型随着模型阶数的增大（从二阶到四阶），输出力主方向的预测误差的均方差从87 mN/A降低到3.3 mN/A，预测误差的最大值从20 mN/A降低到15 mN/A，一次预测的计算量从25次增大到140次，计算时间都在1 ns以内。在该算例中，高斯过程回归模型对电磁作动器输出力主方向的预测误差的均方差为1.9 mN/A、最大值为9.6 mN/A，一次预测的计算量达到约250万次，计算时间约为24 ms。与四阶多项式模型相比，高斯过程回归模型的预测精度提高了约1倍，但一次预测的计算量增加了约1万倍。在实际工程应用中，应当综合权衡计算效率和模型预测精度需求。通过调节多项式模型的阶数以及用于建立高斯过程回归模型的训练数据集合的数据量，平衡计算量和预测精度;并通过研究并行算法来缩短计算时间，提高计算效率，最终确定在允许的计算时间约束下具有最高预测精度的电磁作动器输出力模型，本文的研究可为未来电磁作动器高精度输出力建模提供有价值的参考。

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（编辑：邱赫男）

收稿日期： 2018-11-22

基金项目：“空间科学（二期）”先导专项“空间科学预先研究项目”（XDA15015200）;载人航天领域预先研究项目概念创新类项目（0103）

作者简介：刘 伟（1988—），男，博士研究生，研究方向为航天器动力学与控制、主动隔振控制技术、无拖曳控制技术;

高 扬（1974—），男，博士，教授，博士生导师，研究方向为空间飞行轨道优化与任务设计、航天器精密轨道确定与自主导航技术。

通信作者：刘 伟