古琴琴轸的窝顶结构及其科学依据

琴轸及其考古发现

琴轸，是古琴上用来调音的柱状旋钮，由一段双股丝绳（称作轸绒、绒剅、绒扣等）和一个开孔的小柱（称作轸、弦轸、轸子，多为竹、木、角、牙、玉等材质）组成。绒剅在轸体颈孔穿出后，环绕颈部一圈再从颈孔穿入，从顶孔穿出，然后穿过琴体挂住琴弦。正向或反向拧动琴轸，会使得绒剅因为被绞紧或放松而发生长度变化，以此拉动琴弦，达到调音的目的（图一）。有学者将这种调音机构称为“绞绳式”调音机构或“轴向弦轴”（axial peg）[1]。考古发现表明，至少在公元前433年，古人便利用琴轸进行调音。1973年湖南长沙马王堆三号汉墓出土了一张七弦琴，墓葬时代属西汉早期（公元前168年）。在面板的轸池内有7个角质轸，八棱圆柱形，轸的上下贯穿一孔，上端还有一个侧孔。轸高1.5cm，大端径1cm，小端径0.8cm（图二）。轸池中七个弦孔的周围，还有因旋轸而磨出来的圆形痕迹[2]。

图一

图二

1978年湖北随州曾侯乙墓出土一件十弦琴，墓葬时代属战国早期（公元前433年）。出土时在底板与轸池对应的浅槽内发现了4枚琴轸（图三）。这些琴轸为木质，圆柱形，中空，高2.6cm，外径1.4cm，内径0.8cm。在面板的轸池上同样留有琴轸旋转磨损的痕迹（图四）[3]。

图三

图四

另外还有一类由青铜琴（瑟）轸和轸钥组成的调音工具（图五），其中青铜、骨质和石质琴轸达145枚，青铜、纯银、错金或鎏金轸钥达79把。其造型纹饰十分丰富，时代分布据称从公元前6世纪的春秋时期至西汉中晚期。

图五

根据这三种琴轸的考古发现所提供的图像及数据所描绘的三维图形分别如图六中的Aa、Ab和B所示。据笔者考证[4]，这些琴轸都是利用“绞绳式”原理进行调音的。我们今天使用的传统琴轸与其一脉相承，至少已经有近三千年的历史。绞绳式琴轸在世界范围内是唯一案例，反映了古代中国人的独特智慧。它结构紧凑，轻巧简单，外形简洁且藏而不露，完全能够满足功能上的基本需要。在当时条件下无疑是一项原创性的伟大发明，在世界乐器史上具有独特的地位。

图六

琴轸的窝顶结构

但是，传统古琴琴轸的结构特点也使得其存在一些问题。传统琴轸依靠琴轸端面与轸池板之间的摩擦力来阻止琴轸打滑退转。但随着绒扣被逐渐绞紧，绒扣对琴轸的反向扭矩不断增大。在反向扭矩增大到足以克服琴轸端面与轸池板之间的静摩擦力矩时，琴轸就会发生突然打滑退转。

然而，传统琴轸经过两三千年的演变，琴轸端面由平顶结构演变出了一种窝顶结构。这种窝顶结构就是在琴轸与轸池板接触的端面上，加工出一个凹面，使得接触面成为一个较窄的圆环（图七）。古今琴人的长期实践证实，这种结构可以有效的增加琴轸端面与轸池板之间的静摩擦力矩，使打滑退转的问题得到改善。

图七

一些传世琴学文献对窝顶结构有相当详尽的说明。如：

清《与古斋琴谱》（卷二·轸足犯碍指松滑摇动等病）：“轸顶面宜窝。如平，则旋转滑动（旋紧即复退松）”。又：“轸子……，顶上圆如盘碟式，径四分，高一分余。顶面上须周高中低，如窝形。则转不退回。反是则滑，而旋不能定。”

清《天闻阁琴谱集成》（琴坛十二要·琴轸）：“轸之靠琴处须旋窝则不滑，其余以磨光为佳。”

民国《梅庵琴谱》（卷上十五·琴病及修整）：“琴轸犯迴转者，宜将轸面用刀削之，使中央漥下，则不迴转。”

窝顶结构究竟出现于何时？以目前笔者所能搜集的材料来看，尚不足以做出明确的考证结论。尽管唐宋明清传世老琴的断代已经有了大体公认的方法和标准，但由于琴轸与古琴时常分离，很难根据古琴本身的年代去确定琴轸的年代。就前述出土上古琴轸实物而言，在曾侯乙墓和马王堆汉墓出土的琴轸上，并未观察到窝顶结构。而出土青铜轸的顶端虽然看起来比较窄的圆环形接触面，但这是因为其中心孔较大造成的，与特别设计的窝顶仍有本质不同。

从上述援引的清代琴学文献可以想见，直至清代，仍有可能是平顶与窝顶结构并存，否则不会作为“治琴病”的措施被提及。但据此认为彼时窝顶结构刚刚出现，则理据不足。一则古代信息闭塞、交通不便，斫琴师之间也难以交流，一种细部结构要成为定制，可能需要相当长的时间。即使在当代，古琴热刚刚兴起，一些工厂转产古琴的那几年，笔者也曾经观察到新制琴轸中出现平顶结构。二则琴学著作中涉及琴制的内容多专注于古琴本身，配件上的制作细节被忽略，也是可以想见的。因此传世琴学文献中提及窝顶结构的年代，只能作为窝顶结构出现年代的下限。

所幸传世老琴轸多为玉、角、牙等珍贵材料所制，因此得益于其文物收藏价值而保留至今（大量的木制琴轸则可能因无人收藏而早已灭失）。从材质的老化程度、加工痕迹分析等方面入手，仍有可能得出一些年代信息。古玩藏家、青年古琴家白云龙先生所藏老琴轸颇丰。他从古玉鉴定角度出发，对从唐至清的玉轸进行分析后认为，如果将其藏品按照年代排列，可以观察到从平顶到盘砣加工的粗制窝顶、再到球砣加工的球面窝顶这样的演变路径（带有平顶结构和窝顶结构的传世玉轸分别如图八、图九所示）。其中最早的窝顶结构大约出现在宋代。由于笔者对于古玉鉴定并无认识，本文亦旨在探讨窝顶结构的科学依据，因此只能期待有识之士对传世老琴轸的断代问题作出全面可信的研究结论。

图八

图九

窝顶结构的的科学依据

窝顶结构有何科学意义？窝顶结构为什么能够改善打滑退转的状况？要解决这个问题，首先需要对琴轸顶端接触面的受力状况进行力学分析。

琴轸顶端与轸池板的接触面，是一个以琴轸顶端直径为D的外圆，以琴轸内孔直径为d的内圆形成的的环状面（图十）。当琴轸被安装在古琴上并拉紧琴弦时，琴弦拉力F1通过绒扣传递到琴轸上。与此同时，琴轸在这个环状接触面上受到来自轸池板的压力F。琴弦拉力F1与轸池板对琴轸的压力F大小相等、方向相反，是一对作用力与反作用力。

绒扣由双股线绳绞合而成，可以想象成一段扭力弹簧。绒扣被绞得越紧，其回弹的反向扭矩也就越大。绒扣回弹的反向扭矩作用在琴轸上，将使得琴轸向反向扭转，也就是发生退转。当反向扭矩在比较小的范围内时，被环状接触面上分布的正压力F产生的静摩擦力矩M所平衡，琴轸处于静止状态。当不断绞紧绒扣，反向扭矩增大到足以克服琴轸端面与轸池板之间的静摩擦力矩时，这一平衡被打破，琴轸就会突然发生打滑退转。

图十

在琴轸顶端被加工出窝顶结构以后，我们可以直观地看到，在外圆直径D不变的前提下，内圆直径由d增加为d1，接触面成为一个较窄的圆环，其接触面积也大大减小。可能有人会认为，面积小了，压强大了，摩擦力也就大了，这其实是一种误解。实际上，在琴轸突然发生打滑退转这个临界点上，最大静摩擦力几乎等于滑动摩擦力f=μF，只与正压力F和摩擦系数μ有关，与接触面积无关。

环状接触面上所受的正压力F为分布力，在接触面表面产生平行于接触面的切向摩擦力f。接触面上各点处的切向摩擦力f对轴心产生的力矩，就是我们要求的摩擦力矩。因此，虽然总的摩擦力与接触面积无关，但由此产生的摩擦力矩却与接触面的形状有关。由于环状接触面各部分所受摩擦力的力臂不同，因此总的摩擦力矩应该是各部分摩擦力矩的积分。根据相关计算和推导（略），这一力矩的计算公式为：

其中F为正压力，μ为摩擦系数，R和r分别为圆环的外圆半径和内圆半径（图十一）。实际上，我们可以把这个公式理解为，将环状接触面上分布的摩擦力f=μF，集中作用到一个等效的环线上所产生的摩擦力矩M=f×Re。Re就是这个等效环线的半径：

我们可以把它叫做等效半径。

图十一

在本例中，由于正压力和摩擦系数（与接触面的粗糙度相关）都不变，因此只需要比较两种结构中环状接触面的等效半径即可。

作为示例，我们假定平顶结构环状接触面的外圆半径R=7mm，内圆半径r1=2mm。代入（2）式求得等效半径Re1=4.963mm。而窝顶结构环状接触面的外圆半径不变，内圆半径增加到r2=6m m。代入（2）式求得等效半径Re2=6.513mm。可见窝顶结构所获得的摩擦力矩比平顶结构提高了（6.513-4.963）/4.963=31.23%，也就是提高了三成以上。

结语

传统琴轸的窝顶结构是如何产生的？是主动地改进，还是无意中发现，再经过长期比较和选择后得以成形？这个问题似乎很难考证，但也不是没有一点线索。《史记·乐书》中有这样的记载：“古轸用竹，言凤非梧桐不栖，非竹实不食。”这一说法虽然没有出土实证，但在出土瑟中曾经发现将弦的一端“系在特制小竹棍上”[5]的做法，或者可以间接证明。实际上，竹子中空，只要打一侧孔即可方便地作为绞绳式琴轸来使用。如果用竹做轸，因其中孔较大，其接触面恰为较窄的圆环，暗合窝顶结构的原理。古代先人们很可能通过竹轸与平顶琴轸使用体验的比较，悟出其中的道理，进而将平顶结构改造成了窝顶结构。

综上可见，传统琴轸的窝顶结构已经有相当长的发展历史。它只需通过简单加工，即可获得切实而显著的力学效益，能够提高摩擦力矩达30%以上，改善了绞绳式琴轸打滑退转的问题，是我国古代工匠和琴人在长期实践中共同创造出的独具巧思的乐器改良案例。