高中数学正余弦定理在日常生活中的应用

江西省南昌市第十二中学

1 概述

正弦定理和余弦定理搭建了三角形边和角的桥梁，实现了边角之间的转化，直接运用它，可以直接求解三角形，灵活地变形并与其他知识结合，可以解决现实生活中的问题。

2 利用正余弦定理解决平面几何问题

图1 三角形

在解决平面几何问题时，尤其是涉及到三角形，经常会同时利用正余弦定理与其他数学知识，利用正余弦定理解决平面几何问题的题目常常在高考中进行考查。

2.1 判断三角形的形状

结语：判断三角形的形状，本题使用的是余弦定理，我们在解决这类问题的时候，需要观察表达式，正确选择正弦定理或者余弦定理，甚至两者均使用。

2.2 三角形解的个数

对于这个问题，是初学正弦定理的难点，解决这类问题，我们一般采用数形结合的思想，并利用大角对大边的原理来解决，如图2，就是三角形解的四种情况。

图2 三角形解的情况

3 正余弦定理在测量中的应用

3.1 测量距离问题

在解决距离问题时，需要先选取合适的辅助测量点，然后构造出三角形，进而转化成三角形的边角关系，最后利用正余弦定理来解决。测量距离的问题一般分为两点间不可通也不可达、两点间可视但不可通和两点可视但均不可达三种情况。

如图6，是底部可达的情况，可求得高度：

图3

图4

按照解决测量问题的方法，我们可以转化为数学模型，构造出一个三角形，再通过正余弦定理求解。

3.1.3 两点可视但均不可达。最后一种情况是较为复杂的一种，即两点可视但均不可达，如图5所示，仍然假设这是一条小河，则在小河的一边任意选择点C、D，构造出两个三角形。其中可以通过测量仪器测出的数据有：CD=a，∠ADB=α，∠BDC=β，∠ACB=θ，∠ACD=γ。

图5

3.2 测量高度问题

对于高度问题一般可以转化为三角形的边角问题，有时候还需要结合几何知识，而对于高度问题，可以分为底部可达和不可达两种情况。

图6

图7

4 正余弦定理的实际应用

在生产和社会生活中，很多地方都会测量距离、高度和角度等数学量，尤其是在物理、航海和工程技术方面，均有解三角形的运用，正确使用正余弦定理就显得十分重要。对于这类题目，本文已经将常见的题型做出了总结，对高考复习也有一定的帮助。