多种表征方式中的数学学习

成立

人类在认识理解和掌握知识的过程中，有五种表征系统会起到促进作用，即动作表征、表象表征、符号表征、现实情境表征和口头语言表征。而在小学数学学习中，学生的思维处于形象到抽象的渐进，对知识的认知效果更取决于学习过程是否生动地激发他们的兴趣，方法是否灵活地调动多种感官的参与，是否能让孩子经历知识的形成过程。鉴于此，在学习《乘法的初步认识》时，我尝试运用了各种表征方式，以此促进学生对概念意义的深入理解、扎实掌握和灵活运用。

一、现实情境表征——发现乘法的价值

根据小学生的生理特点，通过一些学生熟悉的数学小故事、谜语或小游戏等生动有趣的内容来创设学习情境，学生就很容易被吸引，会在不知不觉中投入到对知识的主动探究中。

在上课伊始，我设计了一个数数游戏：“开火车”。游戏规则是从第一个同学开始，依次轮流重复数“1、2、1、2……”，同时找两名同学在黑板上記录数了几个“1、2”，孩子们兴致勃勃地数着，当数到第8个“1、2”的时候，我喊“停”，并且让学生算一算有多少位同学参与数数了？几乎所有的孩子都列出了2+2+2+2+2+2+2+2=16的算式。接着再让孩子们依次轮流重复数“1、2、3”，数到第5个“1、2、3”喊停，让孩子们计算参与人数，他们又列出了3+3+3+3+3=15的算式。接着数下去，当数到第18个“1、2、3”的时候，我让学生再计算一下有多少人参与了游戏。

这时候，有的孩子在列算式;有的孩子却说：太麻烦了，一行都写不开了;有的孩子说：老师，可以简单点写吗？有的孩子直接就说：老师，我知道一种简单的写法，用乘法。我一听，正好，那就让孩子来说说吧。

生1：站起来说：“可以用3乘18。”这个孩子的思维活跃，而且超前学习了不少知识，他能回答出来我并不意外。

生2：站起来质疑了：“这个算式什么意思啊？”

生3：大声说：“就是18个3相加的意思！”

生4：又补充道：“我知道只有相同的数加的时候才能用乘法，要是一会儿两个两个数，一会儿三个三个数就不行了。”看来，这个小孩体会到了我让他们这样数数的用意了。

我说：“这几位同学说得有道理，用乘法解决相同加数连加的问题，确实简洁！”

这样的情境，让学生初步认识到了乘法的简洁性，比让学生直接观察主题图更能激发他们对知识的探究欲望，而且是学生亲自参与和熟悉的场景，对乘法价值的探求和理解也会更加深刻。

二、语言表征——体会乘法的意义

数学知识学得好，不仅仅体现在能够通过算式解决书面上的问题，一些研究证明，学生阐述自己的看法，或对他人讲授自己对知识理解的时候，对固有知识的综合运用，对思维的理顺和发展更有益。

因此，在学生对乘法产生初步的探究欲望的时候，我趁热打铁，让孩子说一说2+2+2+2+2+2+2+2和3+3+3+3+3可以写成怎样的乘法算式，学生说的时候，我在黑板上板书出2×8或8×2，3×5或5×3，然后出示学习要求：

1.观察两个加法算式，你有什么发现？

2.观察四个乘法算式，你知道了什么？

以期通过渐进的方式让孩子在头脑中建立加法和乘法的联系。

生5：我发现加法算式中加数是相同的，比如都是2或都是3。

生6：我知道了乘法算式中一个数是那个加数，另一个数是加数的个数。

生7：我知道了乘法算式中的两个数可以调换位置。

生8：我觉得一个加法算式可以写成两个乘法算式。

其他同学在说的时候，孩子们表示赞同，但是生8在说的时候，就有了反对意见。

生9：（针对生8的说法）我要帮你补充一下，应该是加数相同的加法算式才可以写成两个乘法算式。

生10：我觉得不是所有的加数相同的算式都可以写成两个乘法算式的，比如3+3+3只能写成3×3，调换两个数的位置还是3×3。这个加法算式只能写成一个乘法算式。

生11：我可以总结一下，如果加数和加数的个数一样的时候，就只能写成一个乘法算式了，不一样的时候就可以写成两个乘法算式。还有像3+3+3+3+2就不能写成乘法算式，因为加数不全是3。

我说：你总结得很到位，那么乘法算式中的两个数一样，它们表示的意思也一样吗？

生12：虽然这两个数一样，但表示的意思是不一样的，一个表示加数是几，一个表示加数有几个。

生13：加法表示几个几相加，乘法就是几和几相乘。

......

至此，孩子们充分地表达了自己对乘法的理解，我想，学生学习的权利应该掌握在学生手中，在课堂上，我们更应该关注学生是怎样理解和认识数学知识的，要给他们足够的时间和空间来思考、探究和表达，重视学习过程中学生的思维链条和思维方向，达到让学生知其然，也知其所以然的目的。

三、表象和符号表征——深化对乘法的理解

学生对乘法意义的初步认识是以后学习乘法计算和用乘法解决问题的基础，所以要加深他们对乘法意义的理解，而且要结合学生的年龄特征，给他们提供丰富而生动的直观表象。

首先，我通过一组生活中常见的图片先让学生形成对乘法现实模型的认识：如在坐船的场景中，每条船上的人数都相同，每瓶个数相同的插花，每串数目都相同的钥匙等，以及非同数相加情况的情境，让学生在对比中逐渐由具体的同数相加的情境过渡到用抽象的“几个几”来概括表达，进一步架构起由加法到乘法的桥梁，让他们体会到只有加数相同时才可以用乘法来计算，便于学生把相同加数连加的算式改写成乘法算式，突出乘法意义的本质。

其次，我要求学生画一幅可以用乘法算式表示的点子图，并和同桌互相说一说自己有什么发现和思考。一方面逐渐从形象观察向抽象模型过渡，另一方面渗透“数形结合”的数学思想，拓展学生的思维，发展学生的数学思想，同时也培养了合作意识和互助意识，并在表达中学会对别人意见进行正确的选择和判断。

在分享自己的想法的时候，同学们依然各抒己见。

生14：我每行画2个，画了3行，表示2个3，用乘法算式表示是2×3或3×2。

生15：我每列画4个，画了6列，表示6个4，乘法算式是6×4或4×6。

生16：我画的是4×3，表示3个4，我发现把这些点连起来是个长方形。

他的发现引起了一些同学的注意，有些同学马上就去连自己的点子图，接着纷纷发言。

生17：我画的是5×3，表示5个3，把点子连起来也是长方形。

生18：我画的是4×4，把点子连起来是正方形。

生19：我想问一个问题，怎么有的是正方形，有的是长方形呢？

我说：是啊，都是可以写成乘法算式的点子图，怎么有的是长方形，有的是正方形呢？

生20：因为1行是4个，有4行的时候，横着数和竖着数是一样的，都是4，所以是正方形。

生21站起来：我觉得只要是两个乘数相同，就说明每一行和每一列的点子数是相同的，点子图就是正方形的，因为正方形的长和宽是一样的，不一样就是长方形的，比如3×3、4×4、5×5、6×6……画出来肯定都是正方形，3×5、4×6画出来肯定是长方形。他把数与代数的知识和图形与几何的知识融会贯通了，看来真的是给孩子们多大的空间，孩子们就会给你展示多大的精彩。

随着孩子们的回答，我在黑板上依次用磁扣把孩子们说的图形摆出来。

看到图，生22又说：乘法算式表示的是几个几是多少，当两个乘数相同的時候，加数和加数的个数是一样的，画成点子图横数竖数都一样，点子图就是正方形的了，但是要整齐排列，一堆一堆画就不是这样了，而且我还发现了一个规律，他们依次增加了5、7、9……

生23也情不自禁地说：这样画真好看！

我由衷地赞叹道：是啊，我国著名数学家华罗庚就说过，数学本身就是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的，只有勤动脑、善观察的孩子，才会既能发现数学的严谨，又发现数学中的美。

最后，我设计了这样的活动：1.写出一道加法算式，并改写成乘法算式。2.写出一道乘法算式，并改写成加法算式。进一步通过抽象的算式强化加法和乘法的联系，让学生通过符号表征体会到乘法的意义，加深他们对乘法意义的理解和运用。

在汇报的时候，孩子们发现，一道加法算式，可能写成两道乘法算式，而一道乘法算式，也可能写成两道加法算式，通过和直观图象对比分析，在抽象和概括中对乘法意义的理解和运用达到了自如运用。

学生对数学知识的学习方法和表达方式是丰富多彩的，在学习中，我们不但要关注孩子学习数学的结果，还要关注他们数学学习的过程，只有了解他们是怎样理解和认识数学问题的，才能让知识重建和意义生成在他们的头脑中发生。所以我努力做到结合学科特点和知识结构，顺应他们的思维特征，巧妙地设计，充分地放手，适时地把控，及时地点拨，让孩子们体会数学思想的精髓，提升解决问题的能力，让学生真正体会到数学的魅力，促进个性和激情共长，快乐与收获齐飞！