从“山穷水尽”到“柳暗花明”

贾玉文

在小学数学的各个学段，教材都编排了“解决实际问题”的内容，着力提高学生的问题解决能力。在解决实际问题时，要充分利用教材所提供的丰富素材，使学生学会用数学的眼光观察生产生活实际，培养学生发现、提出与数学有关的问题以及分析、解决问题的一般性能力。

笔者在教学人教版《数学》六年级上册第42页例7的工程问题时，让学生亲自经历观察、猜想、推理、验证等活动，经历把生活问题模型化的过程，透过各种现实表象，找出隐藏其后的数量关系。鼓励学生举一反三，形成一般性的问题解决能力和数学建模的思想。

一、教学案例

（一）条件不足，着手难

师：同学们，前几天我们学习了关于解决分数的实际问题，谁来简单谈谈解答此类问题的思路及方法？

生1：解答分数的实际问题时，我认为最关键的是找准单位“1”的量，建立数量关系或等量关系。

生2：如果单位“1”的量是已知的，列出乘法算式即可。

生3：如果单位“1”的量是未知的，一般列方程解答或用除法计算。（一位快嘴的同学说，师生都笑了）

师：看来同学们对这部分内容掌握得很好。好，今天我们继续学习解决分数的实际问题。

师：（课件出示例7，如图1）请同学们分析题意，获取已知数学信息和所求问题。

学生读题，沉默片刻。

生1：老师，这条路的总长没告诉，好像不能……（满脸难为情）

生2：是呀，我也觉得此题奇怪，已知两个队的工作时间，要求的也是工作时间。好像缺少条件，我也觉得不能解答。

生3：刚才我浏览了课本，这是课本的原题，难道书上也有错误吗？（其他学生笑了）

师：是呀，难道数学家给我们出了一道错题，让大家解决？（同学们似笑非笑）对呀，可是题中没告诉“道路的总长”，怎么办？

生4：不能算呗！（全班同学笑得非常灿烂）

（二）变换条件，方法多

师：同学们，这道题真得不能计算吗？（全班同学再次陷入沉思）

生1：我们是否可以假设这条道路的长度呢？

生2：对，好主意！这是数学老师常说的假设法呀。

师：那我们何不尝试一下？假设道路全长为……

生2：我想假设这条道路全长为x千米。老师常说，我们遇到解答逆思考的问题时，一般是列方程解答。

生3：我想假设道路全长为36千米。

生4：为什么把道路全长设为36千米，不设为其他数值呢？

生3：因为把道路全长设为36千米，除以天数12或18时，都可以除尽，这样容易理解，也便于计算。

生5：既然这样的话，能不能把道路全长假设为单位“1”呢？

同学们回答：应该可以！

生6：依据大家的想法，把这条道路假设成任意的长度都可以，说明这道题有无数种解答方法。（同学们半疑半信）

师：数学就是这样神秘，思考不出来的时候觉得难受，甚至是煎熬，当想出来的时候，做数学题真是人生的一种享受！（同学们高兴得笑了）

师：好！现在请大家选择自己喜欢的数据，尝试解答这道题。

（三）一波三折，解疑惑

请刚才假设道路不同看法的三位同学上黑板计算，教师巡视。

生3：假设这条道路全长为36千米。

36÷（36÷12+36÷18）=36÷5=7.2（天）

生5：假设这条道路全长為单位“1”。

1÷（+）=1÷= （天）

生5：我设的是道路全长为单位“1”，根据工作总量÷工作时间=工作效率，分别用单位“1”除以一队和二队的工作时间，得到一队和二队的工作效率分别是全长的和全长的，再用工作总量单位“1”除以一队和二队的工作效率和（+），得到两队合作完成的时间是天。

生2：老师，我假设道路全长为x千米，列出算式“x÷（x÷12+x÷18）”后，怎么没法计算呢？我感觉算式也正确呀？（看着前面两位同学都把得数算出来，这位同学急得请教老师）

师：怎么办？设道路全长为x千米也不好计算啦？谁愿意帮忙？

有一学生举手要求板书，把这道题完成。（如图2）

生7：老师，这种算法怎么这么巧合，正好把算式中的x约去了？但是，感觉非常蹊跷，它又不像方程，最后还能计算出同样的结果。

师：你观察得仔细，思考得深入，提出的问题很有价值。提出一个问题要比解决一个问题更重要！请同学们观察这道算式哪儿不像方程？

生8：方程解法是根据数量关系建立等量关系，这里没有等式，所以它不是方程解法。

师：你的思维敏捷，讲解得精准到位，这不叫方程解法，这叫代数式法。

下面的同学们窃窃私语，讨论“代数式法”。

师：请同学们观察黑板上的几种解法，你有何感想？

生9：为什么假设的道路全长不同，算出的合作时间都是相同的呢？

生10：是呀，我也是这么想的。为什么道路全长不论怎么变化，最后的合作时间却是不变的？

师：这说明合作时间和总路长有关系吗？

生：没有关系。（几乎全班同学说）

师：这个问题中什么东西是不变的？（同学们又陷入沉思）

忽然，一名同学小心翼翼地说：老师，我能到黑板上讲吗？”

师：太好啦。

只见这位同学把前面“生3”的算式稍作修复后，让同学们观察三道算式，发现了什么？

1÷（+）

36÷[（+）×36 ]

x÷[（+）×x ]

生11：哦，我发现这条道路的总长不论取值多少，两队每天修的长度占总长度的几分之几是固定的，所以合作的修路时间也是不变的。

师：大家明白吗？（部分同学们微微点头）谁还有不同的理解？

另一同学也走上讲台，用手指着三道算式对比着讲解：请大家观察算式，被除数‘1扩大36倍，除数也扩大36倍，商当然不变;被除数‘1扩大x倍（x≠0），除数也扩大x倍，商也是不会变的，这不正是除法中商不变规律的应用吗？

教室里响起热烈的掌声……

（四）峰回路转，寻模型

师：看来同学们在解决工程问题时，不仅找到多种算法，还明白了其中的算理，那我们应用刚才学习的方法解决一些生活问题，可以吗？

生：可以。

师：请同学们打开数学课本的第45页，完成第9题，老师巡视。（如图3）

一段时间后，寻找几位同学上黑板计算。

生1：300÷（300÷8+300÷10）= 300÷67.5 =4 （天）

生2：假设要种40棵树。

40÷（40÷8+40÷10）=40÷9=4 （天）

生3：假设要种x棵树。

x÷（x÷8+x÷10）=x÷（+）=x×=4（天）

生4：假设要种的棵树为单位“1”，5天种树：

（+）×5=   因为 1<   所以5天能完成任务。

生5：假设要种的棵树为单位“1”。

1÷（+）=4 （天）

生6：  ==4 （天）

“哇塞！这么多种算法？”下面的同学惊奇地说。

师：请大家观察以上几位同学的算法，谈谈你们的想法。

生7：第六种算法我看不懂，方法六的同学能为大家讲讲吗？

生6：刚才我看到两队每天修的长度占总长度的几分之几是固定的，忽然想到：在前面学习分数加减法时，我们总结过分子是1的两个分数相加的规律：只要将分母相乘的积作分母，分母相加的和作分子，计算后能约分的要约分，这种算法正相当于工程问题的工作效率和。我们把工作总量看作单位“1”，工作总量“1”÷工作效率和=合作时间，所以只要我们求出工作效率和的倒数，就是合作时间。也就是，只要将两队单干工作时间的和作分母，两队单干时间的积作分子，这样就能很快求出合作时间，列出算式是：==4（天）。（个别几人鼓掌）

师：同学们清楚这样的算法吗？（没几人点头）

师：如果一队单干a天完成，二队单干b天完成，两队合干，几天完成任务？用字母能表示你的想法吗？（我趁机追问）

生6：两队单干时间和作为分母，单干时间积作为分子，用字母表示合干的时间应该是： （天）。

师：同学们明白吗？（教室里鸦雀无声）实践是检验真理的唯一标准，我们可以举例验证这种算法正确与否，请大家课下验证他的算法。

二、課后感悟

（一）探讨“变中有不变”，抽象数学本质

在总结例7的不同算法时，学生通过假设不同的总路长，发现总路长不同，算出的合作时间都是相同的。于是引导学生思考：合作时间和总路长有什么关系吗？（没有关系）为什么总路长改变，得到的合作时间却是不变的？这个问题中什么东西是不变的？通过交流讨论，学生发现“变中有不变”是指：无论道路怎么变化，两队每天修的长度占总长度的几分之几是不变的。因此，很自然地想到可以把道路长度假设成单位“1”或者其他数据。

让学生亲自经历这一从具体数量逐步抽象的过程，对于提高学生问题解决的能力至关重要。这时，教师继续追问：“谁还有不同的理解？”逼着学生发现原来是“应用除法中商不变的性质”这一规律，从学生的表情可以看出，大部分学生完全明白“变中有不变”的真正原因，让学生实实在在感受到数学知识源于生活，生活问题数学化，也让数学知识的本质得以升华。

（二）寻找解决问题途径，体会模型思想

本节课在引导学生寻找多种解题方法的同时，注重加强学生的类比、归纳、抽象及概括等思维能力的训练。

在教学过程中，让学生感悟转化、猜想、推理等基本的数学思想，经历这样的基本数学活动过程，远比给予同学们现成的结论要有效果、有价值。同时，让学生在亲身经历自主探究、交流讨论、解决问题的过程后，掌握并运用了假设、验证等方法解决问题的基本策略，从而让学生体会到了抽象数学的建模思想。此外，我们也没有必要把总长度假设成单位“1”的方法或套用“”方法看成是最优方法，避免学生对解题思路过度单一而思维僵化，形成“套路化”。练习中仍要允许学生不求方法单一性和最优化，但求方法开放性和多样化，让不同的学生在解决数学问题上得到不同的发展。为个性化思维的学生提供广阔的思维空间，从而挖掘学生的潜能，提升学生的创新意识和数学综合素养。