基于向量投影加权响应面法的边坡可靠度分析

盛建龙 彭宗桓 叶祖洋

（武汉科技大学资源与环境工程学院，湖北 武汉 430081）

实际工程中的边坡极限状态方程（Limit State Function，LSF）常表现为隐式函数。为解决此类问题，Gupta等［1］提出了易于操作的响应面法（Response Surface Method，RSM），并得到了广泛应用［2-6］。为提高响应面法计算效率，Bucher等［7］改进了拟合函数形式，Rajashekhar等［8］在此基础上发展了响应面法的迭代求解方案。Kim等［9］以投影取样代替传统取样方式提出向量投影取样点法（Vector Projection Re⁃sponse Surface Method，VPRSM），但未比较各取样点在拟合中所占权重。

此后，为进一步提高计算精度，Kaymaz等［10］提出了加权响应面法（Weighted Response Surface Method，WRSM），赵威等［11］将偏最小二乘回归运用于响应面拟合优化了分析过程。但不合理的插值系数取值和取样点的分布仍会使计算产生较大误差或导致错误结果［12］。

为解决上述问题，在研究了取样点权重对拟合精度影响后，基于VPRSM法提出基于向量投影加权响应面法。将取样点向垂直验算点梯度方向投影以获得试验点，并利用试验点与极限状态函数的偏离程度对各取样点进行加权以拟合近似极限状态方程。所提方法增大了靠近真实极限状态面试验点的权重，提高了近似精度，同时减弱了取样点离散程度对计算结果的影响。采用本研究方法对2个工程边坡进行可靠性分析，并通过真实工程算例给出相关参数的建议值。此外，通过对比其他可靠度分析方法证实了其可靠性。

1 基本理论

1.1 响应面构造基本原理

含有q个变量的响应面函数模型为

式中，a、bi、ci、dij为待定系数，当给定一组数据及相应实验响应后，式中待定系数通常由最小二乘法求得。

Galton等［13］通过研究发现不含交叉项的响应面函数较上式计算效率更高且精度相差不大。张明等［14］在此基础上进一步忽略二次项影响，在VPRSM法中将一次线性响应面函数用于拟合真实极限状态面。在保证计算精度的前提下，提高了计算效率并实现了在取样点附近对目标函数较好的模拟。本研究依据以上分析采用式（2）进行响应面拟合。

1.2 取样点梯度投影及响应面拟合

在边坡可靠度计算中，取样点的选择策略对计算精度及计算效率有较大影响。在传统响应面法的基础上将取样点向响应面梯度方向投影，并采用最小二乘法计算响应面函数，具体操作如下：

假设上次迭代得到的极限状态函数为

式中，a，b=（b1，b2，…，bn）T为系数。响应面函数在x*处梯度单位向量ω可表示为

将第i个随机变量xi投影到响应面函数上，得到投影向量为

式中，ei=（δ1i，δ2i，...，δni）T代表沿xi坐标轴的单位基向量，其中δji当j不等于i时为0，当j等于i时为1。图1给出了含有2个随机变量x1、x2的响应面在响应为零时的等值线图。此时x1的投影向量为T1，由图1可知，如果完全沿着T1方向投影，则x*所有的展开点均位于上次求解得到的近似极限状态平面Z=0上。

由于上次求解得到的近似极限状态函数平面并非真实极限状态平面，将经过投影后的取样点向x*处梯度方向偏移得到分布于真实极限状态平面的近旁投影。相应单位投影向量qi（i=1，2，…，n）为

式中，εq为控制投影方向的系数；η在0～1之间取值，η取0或1时分别对应于传统中心复合设计取样和全向量投影。

将传统中心复合设计取样点向式（6）规定的方向投影，相应投影点在xi轴上的坐标为：

式中，fσxiqiTei控制了取样点分布的离散程度。

利用上述取样方法一般可得到2n+1个取样点，再通过数值分析或实验得到相应的系统响应。将其代入（3）式可得到如下超定线性方程组：

式（9）中待定系数可依据最小二乘法由（11）式获得。

1.3 加权系数的构造

在利用向量投影取样点拟合真实极限状态面时，并未考虑各取样点的作用大小。研究表明，取样点与真实极限状态面间的距离与各点在模拟中所起到的作用相关。若将各取样点同等对待便忽略了各取样点在拟合中的作用大小，如此将会对模拟精度和迭代效率造成影响。本项目通过对各取样点进行加权处理，使靠近真实极限状态面的取样点获得更大的权重，以实现对真实极限状态面的快速准确模拟。权重系数构造如式（12）和式（13）所示。

式中，|g(xi)|反映了各取样点到极限状态面的距离；ωi代表各取样点被赋予的权重，距离极限状态面越近的取值点将被赋予更大的权重；ξ为权重系数，一般在0～1之间取值，不同的权重系数取值将会对取样点在模拟极限状态面的离散性和模拟精度产生影响。

1.4 基于向量投影取样的加权响应面法

将加权优化思想与向量梯度投影法相结合选择取样点，能在获取最优试验点的同时得到更高的计算效率。通过将中心复合设计的取样点向上次迭代得到的极限状态面上投影，能使取样点合理分布于极限状态面周围。基于各取样点在拟合时的重要程度而构造的加权系数矩阵，对各取样点所携带的信息进行进一步优化分析。避免了劣质实验点对迭代效率的影响，同时提高了拟合精度。通过投影取样和加权处理的实验点将随迭代逐步向真实极限状态面逼近，并最终收敛。

在经历数次迭代获得极限状态函数表达式后，便可由此进行可靠度评价。基于向量加权投影取样点的响应面法的计算步骤归纳如下：

（1）以各变量的均值μx构造初始迭代点x=（x1，x2，...，xn）T，利用经典响应面法获得初次迭代的响应面函数g（x）及设计验算点x*。

（2）以上次迭代获得的设计验算点x*为取样中心，选取适当的步长f值，并选用相应中心复合设计中的2n个轴向取样点。各取样点坐标可表示为xi=x*±fσxi。

（3）将取样点通过式（3）～式（8）进行投影取样，并将结果代入式（10）形成相应系数矩阵A（X）。依据取样点进行数值分析或试验并将得到的相应量gi（i=1，2，...，2n+1）构成列向量y=（g1，g2，...，g2n+1）。

（4）按照式（12）式和式（13）构造权重系数W，根据最小二乘法可得到取样点加权后的相应响应面函数的待定系数矩阵为

B=(ATWA)-1ATWy.

（5）通过JC法计算所得极限状态方程的设计验算点x*及可靠度指标β。

（6）将求得的设计验算点作为展开点利用式（3）～式（7），以代替f计算新的展开取样点x*。

（7）重复步骤（3）～（6），直至前后2次‖x‖相差小于ε。

将上述计算流程绘于图2所示。

2 算例分析

2.1 简化土坡算例

以文献［15］中的简化土质边坡为例进行分析。边坡示意图如图3所示。该边坡高度H=10 m，坡脚和临界滑动面与水平地面的夹角分别为θ=20°、ψ=26°。边坡土体的天然重度采用γ=22 kN/m3。滑带土体的黏聚力c及内摩擦角ϕ的统计参数如表1所示。

假设土坡沿临界滑动面滑动破坏，表征该土坡稳定性的功能函数可近似表示为

以蒙特卡洛法（107次）（Monte Carlo，MC）的计算结果为标准值，将经典响应面法（RSM）、梯度投影响应面法（VPRSM）、加权响应面法（WRSM）和本研究方法的计算结果列于表2。表2中本研究方法的权重系数ξ综合考虑了计算精度和计算结果的敛散性取1/2进行计算。

表2中第3、第4、第6列给出了通过各种计算方法得到的可靠度指标β和失效概率Pf及其与标准值的相对误差，将各种方法求出的失效概率与MC法进行对比可知RSM和WRSM法的计算误差较为接近，VPRSM法的误差最大。本研究方法计算误差约为RSM和WRSM法的1/138，VPRSM法的1/360，这证实了该方法的计算精度。

表2中第5列给出了各种计算方法的迭代次数，分别为RSM（1 000次）、WRSM&VPRSM（100）次、本研究方法（12次）。从中可以看出相较于其他方法本研究方法的迭代次数明显减少，计算效率较高。

基于各种可靠度计算方法拟合得到的近似极限状态函数如图4所示。通过比较各种方法得到的功能函数在验算点附近与真实极限状态函数的位置关系可知，本研究方法具有较好的拟合效果。由于RSM方法拟合的功能函数与真实函数偏差较大，当前视图没有显示出来。

2.2 卡基娃左岸边坡算例

下面以文献［16］卡基娃左岸边坡为例讨论本研究方法在分析功能函数为隐式函数时的边坡可靠度求解过程，同时分析权重系数对计算精度的影响。卡基娃水电站位于四川省凉山州，距木里县城178 km，距西昌约424 km。坝顶设计开挖高度180 m，开挖至海拔2 850 m时，2 855 m高程以上变形体前沿滑移剪出，后延沿沿开口线开裂，且随工程进行变形速率逐渐加快。对大坝施工及边坡支护工程的安全进行造成威胁。其滑坡典型剖面如图5所示。

依据工程报告将其土性参数列于表3。通过Geostudio软件slope/w模块计算安全系数，以MCS（106）方法计算的失效概率标准值为16.45%。

依据Morgenstern-Price法安全系数计算结果，采用如式（2）所示的线性响应面函数模拟该边坡极限状态方程。利用向量投影取样点技术并通过加权优化获得高质量取样点并以此拟合极限状态方程，再通过迭代生成新的展开点和取样点以求解新的极限状态方程、可靠度指标及失效概率直至计算结果收敛。

根据自主编制的Matlab计算程序计算了该边坡可靠度指标和失效概率随不同权重取值的变化情况如图6和表4所示。图中失效概率计算值随着权重系数增长逐步向标准值靠近。当权重系数增大至0.5左右时计算所得的失效概率与标准值最为接近，并在随后逐渐偏离标准值。基于以上分析，在综合考虑工程精度和计算效率的前提下本研究建议采用ξ=0.5进行边坡可靠度计算。计算所得的可靠度指标和失效概率分别为β=0.976；pf=16.44%。

3 结论

基于向量投影响应面法，提出了一种加权取样点的优化抽样方法，并依据其原理给出了计算流程图。分别以1个简化土坡算例和卡机娃水电站左岸边坡实例研究了该方法的计算精度并提出了加权系数的建议值。主要结论如下：

（1）利用取样点至极限状态面的距离建立加权系数矩阵，优化了取样点的选择策略，减少了迭代次数。较传统响应面法提高了计算效率和精度，为隐式功能函数的工程问题提供了一种新拟合方法。

（2）为研究该方法的可靠性，本研究同时采用了多种传统响应面法进行模拟比对。结果表明本研究方法的精度能够满足工程要求，且较其他方法具有更高的计算效率。

（3）探讨了不同重要性系数ξ对响应面模拟的影响。通过对真实工程案例的模拟分析，提出了权重系数ξ的建议值，可方便推广于其他工程，具有一定的发展前景。