关于Gorenstein AC-余挠模

2020-09-15陈东，熊涛

安徽大学学报（自然科学版） 2020年5期

陈东，熊涛

(1.成都大学信息科学与工程学院，四川成都 610106；2.西华师范大学数学与信息学院，四川南充 637002)

受以上思想的启发，论文推广了Gorenstein余挠模，引入Gorenstein AC-余挠模的概念，Gorenstein AC-余挠模类是介于Gorenstein余挠模类和余挠模类之间的一种模类.讨论Gorenstein AC-余挠模的很多性质，如Gorenstein AC-余挠模与平坦模、Gorenstein AC-平坦模之间的关系.文献[3]用Gorenstein余挠模刻画每个R-模是Gorenstein平坦模的环类，论文相应地用Gorenstein AC-余挠模刻画每个R-模是Gorenstein AC-平坦模的环类.最后讨论Gorenstein AC-余挠包、Gorenstein AC-平坦盖的存在性，同时讨论每个R-模是Gorenstein AC-余挠模的条件.

为讨论方便，需回顾一些相关概念：设C是R-模类且M是一个R-模.称一个态射φ:M→C为M的C-预包(络)，若C∈C且对每个态射g：M→C′，其中C′∈C，存在态射f：C→C′，使得g=fφ.一个C-预包(络)φ：M→C称为C-包(络)，若满足gφ=φ的自同态g：C→C均是同构.一般情况下，C-包(络)未必存在，但若存在，则在同构意义下必唯一.

文献[10]称C-包(络)φ：M→F具有唯一映射性质，如果对任意的同态f：M→F′，其中F′∈C，存在唯一的同态g：F→F′，使得gφ=f.

设H是R-模类.称H是内射可解类，如果内射模包含在H中，并且对任意的X′∈H的正合列0→X′→X→X′′→0，X′′∈H当且仅当X∈H.

正合列0→A→B→C→0称为纯正合列，是指任意的R-模X，诱导序列0→A⊗X→B⊗X→C⊗X→0仍是正合列.对上述纯正合列，若存在R-模M，使得0→HomR(C,M)→HomR(B,M)→HomR(A,M)→0仍是正合列，则M称为纯内射模.文献[7]定义了任意R-模M的弱平坦维数和弱内射维数，分别记为：

论文所涉及的环均是有单位元的交换的结合环，所涉及的模均是酉模.用GFac表示Gorenstein AC平坦模类，M⊥,M+分别表示模M的右正交补和特征模HomZ(M,Q/Z).

1 主要结果

定义1称R-模M为Gorenstein AC-余挠模，是指对任意的Gorenstein AC-平坦模G，有

注由定义1，容易看到：

(1) {Gorenstein余挠模}⊆{Gorenstein AC-余挠模}⊆{余挠模}，即Gorenstein AC-余挠模类是介于Gorenstein余挠模类与余挠模类之间的一种模类；

(2) 类似于余挠模的性质，Gorenstein AC-余挠模类是内射可解的.

以下给出Gorenstein AC-余挠模类存在的一些条件.

命题2设M是R-模，若widRM<∞，则M+是Gorenstein AC-余挠模.

命题3设M是R-模，若M是弱余挠模且wfdRM<∞，则M是Gorenstein AC-余挠模.

命题4设M是R-模，若M是纯内射模且wfdRM<∞，则M是Gorenstein AC-余挠模.

以下讨论Gorenstein AC-余挠模的性质.

命题5设0→A→B→C→0是正合列，若B是Gorenstein AC-余挠模，则A是Gorenstein AC-余挠模，当且仅当对任意的Gorenstein AC-平坦模G，存在正合列HomR(G,B)→HomR(G,C)→0.

命题6(1) 设M是R-模，若f：F→M是M的Gorenstein AC-平坦盖，则F是Gorenstein AC-余挠模当且仅当M是Gorenstein AC-余挠模；

(2) 若R是关于Gorenstein AC-平坦模类扩张封闭的环，g：M→L是G的Gorenstein AC-余挠包，则L是Gorenstein AC-平坦模当且仅当M是Gorenstein AC-平坦模.

证明(1) 由于f：F→M是M的Gorenstein AC-平坦盖，故存在正合列0→Ker(f)→F→M→0，其中Ker(f)是Gorenstein AC-余挠模.由命题5知，F是Gorenstein AC-余挠模当且仅当M是Gorenstein AC-余挠模.

(2) 类似(1)的证明，此略.

命题7设M是Gorenstein AC-余挠模，则M是平坦模当且仅当M是Gorenstein AC-平坦模.

文献[5]讨论了每个R-模是Gorenstein余挠模的条件.相应地，下面讨论每个R-模都是Gorenstein AC-余挠模的条件,即定理1.

定理1设R是环，则以下各条等价：

(1) 每个R-模是Gorenstein AC-余挠模；

(2) 每个Gorenstein AC-平坦模是Gorenstein AC-余挠模；

(3) 每个Gorenstein AC-平坦模是投射模.

若R是关于Gorenstein AC-平坦模类扩张封闭的环,则上述条件还等价于：

(4) 每个R-模具有唯一映射性质的Gorenstein AC-余挠包；

(5) 每个Gorenstein AC-平坦模具有唯一映射性质的Gorenstein AC-余挠包；

(6) 对任意的同态f：M1→M2，其中M1,M2是Gorenstein AC-余挠模，则Ker(f)也是Gorenstein AC-余挠模.

证明(1)⟹(2).显然.

(3)⟹(1).设M是R-模，N是Gorenstein AC-平坦模.由条件知,N是投射模，故Ext′R(N,M)=0.因此，M是Gorenstein AC-余挠模.

(1)⟹(4)⟹(5)，(1)⟹(6).显然.

(5)⟹(2).设M是Gorenstein AC-平坦模，f：M→F是M的Gorenstein AC-余挠包，于是存在正合列A:0→M→F→Cok(f)→0，其中Cok(f)是Gorenstein AC-平坦模.设g：Cok(f)→L是Cok(f)的Gorenstein AC-余挠包，考虑正合列A的交换图

因∂f=0，故g∂f=0=g∂0.由于f：M→F是M的具有唯一映射性质的Gorenstein AC-余挠包，故g∂=0，于是有Im(∂)=Cok(f)⊆Ker(g)=0，从而Cok(f)=0，故M=F，因此M是Gorenstein AC-余挠模.

推论1设R是完全凝聚环，且gl.dim(R)<∞，则每个R-模是Gorenstein AC-余挠模.

证明由于R是完全凝聚环，故由文献[6]中的定义4.1和文献[13]中的命题3.2知，{Gorenstein AC-平坦模}={Gorenstein平坦模}={Gorenstein投射模}.

另一方面，由于gl.dim(R)<∞，故由文献[14]中的命题10.2.3知，{Gorenstein投射模}={投射模}.由定理1知，每个R-模是Gorenstein AC-余挠模.

定理2若R是关于Gorenstein AC-平坦模类扩张封闭的环，以下各条等价：

(1) 每个R-模是Gorenstein AC-平坦模；

(2) 每个Gorenstein AC-余挠模是内射模；

(3) 每个Gorenstein AC-余挠模是Gorenstein AC-平坦模；

(4) 每个R-模有Gorenstein AC-平坦的Gorenstein AC-余挠(平坦)包；

(5) 每个R-模具有唯一映射性质的Gorenstein AC-平坦盖；

(6) 每个Gorenstein AC-余挠模具有唯一映射性质的Gorenstein AC-平坦盖；

(7) 对任意的同态：f：M1→M2，其中M1，M2是Gorenstein AC-平坦模，则Cok(f)也是Gorenstein AC-平坦模.

证明(1)⟺(2)，(1)⟹(3)，(1)⟹(7) . 显然.

(1)⟹(5) .设M是R-模，由假设，M是Gorenstein AC-平坦模，于是M的恒等映射1M：M→M是M的Gorenstein AC-平坦盖，从而是唯一性质的Gorenstein AC-平坦盖.

(5)⟹(6) .显然.

(3)⟹(1) .设M是R-模，由文献[6]中的命题4.8知，存在正合列0→M→C→N→0，其中C是Gorenstein AC-余挠模，N是Gorenstein AC-平坦模.由假设知，C是Gorenstein AC-平坦模.由于R是对Gorenstein AC-平坦模封闭的环，由文献[6]中的引理4.7知，M是Gorenstein AC-平坦模.

(6)⟹(4).设m是R-模，且f：M→C是M的Gorenstein AC-余挠包.由题意知，存在C的唯一映射的Gorenstein AC-平坦盖g：F→C，于是存在正合列B：0→K→F→C→0，其中K是Gorenstein AC-余挠模.由题意，又存在K的具有唯一映射性质的Gorenstein AC-平坦盖g′：F′→K.考虑正合列B的交换图