2020年高考“数列”专题解题分析

王晓光 梁豪豪

摘  要：通过对2020年各份高考数学试卷中数列试题的对比研究，可以看到，2020年高考依然覆盖了数列的全部知识点，包括等差（比）数列中基本量的运算、性质、通项公式、求和公式的综合应用，以及利用新定义考查数列的定义等. 注重对数学思想方法的考查，如方程思想、类比思想、数学建模思想、分类讨论思想等. 亮点频现，更注重了对学生数学学科核心素养的考查.

关键词：数列;试题分析;解法分析;回歸基础

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出数列是一类特殊的函数，是数学中重要的研究对象，是研究其他类型函数的基本工具，是反映自然界变化规律的基本数学模型，在高考中占有较大的比重和较重要的考查地位. 2020年的各份高考数学试卷中对数列的考查既有比较容易的基础题，也有要求较高的压轴题. 下面分三个方面对其进行分析.

一、试题分析

综观2020年高考数列试题，主要是以基础知识为载体考查基本能力，题型涉及选择题、填空题及解答题，主要围绕等差（比）数列基本量的运算，等差（比）数列的性质，新定义数列的考查及数列求和、求通项的综合应用这几方面考查. 同时，注重考查分类讨论、转化与化归、类比、归纳推理等重要数学思想.

【评析】等差（比）数列的性质也是在高考中经常考查的知识点，应用它们解决数列问题往往可以收到简化运算、提高运算效率的效果. 近几年的高考对等差（比）数列性质的考查形式越来越新颖，2020年全国Ⅱ卷理科第4题以实际生活做背景，而此题是利用等差数列构造另一个数列来考查，对学生的能力又提出了更高的要求. 类似的还有北京卷第8题. 在教学过程中教师应该引导学生多观察发现等差（比）数列的性质，并灵活应用.

3. 利用新定义的数列考查数列相关知识和能力

【评析】利用新定义考查数列的相关知识是近几年高考中经常出现的试题类型，通过数列综合应用旨在考查学生阅读理解、抽象概括、逻辑推理、分析问题、解决问题的能力. 这类试题综合性较强，要求学生能在短时间内提取出题目中的关键信息，转化为学过的数列知识，对学生全方位能力提出了较高要求.

4. 数列求通项公式、求和公式的综合运用

【评析】已知数列的递推关系式求通项公式是考查学生对数列基础知识掌握情况的又一种重要方式，常用到累加法、累乘法、分奇偶项讨论等具体方法，这些在各份高考试卷中都有所体现. 数列求和问题，常考的方法有错位相减法、裂项相消法、分组求和法，这些方法在日常教学中处于非常基本的地位. 全国新高考Ⅰ卷第18题第（2）小题，若用列举归纳法，则会变得相对简单. 因此，教师在平时的教学中要加强对教材内容的教学，重视对教材中习题的引申和适当变形;全国Ⅲ卷理科第17题考查了数学归纳法，这道题如果不用数学归纳法，而采用别的证明方法，对大多数学生来说就会困难得多. 高考试题对高中数学知识的全面考查，对今后的教学有很好的导向和促进作用.

二、解法分析

1. 方程思想

【评析】此题背景新颖，利用了北京天坛的圜丘坛. 处理此类题型的关键在于读懂题意，并能从具体情境中提炼出数学知识，构造相应的模型，进而求解. 分析题意可知此题考查的是“等差数列的‘等段和’仍为等差数列”这一知识点. 只要分析清楚该等差数列的首项、公差及项数，便可顺利解决此题. 此题也是借助实际背景考查等差数列基本性质的问题.

4. 分类讨论思想

【评析】此题第（2）小题考查了等差数列和等比数列对应项乘积构成的新数列的求和问题. 这正是教师在平常教学中强调得比较多的错位相减法. 解题思路比较简单，但是运算量稍大，尤其是等比数列的公比为负数，给运算又带来了一些困难. 当然也可以用方法2求解，利用待定系数法把此数列写成一个数列的后一项减前一项的形式，再用叠加法求得，利用此法运算量稍小.

【评析】此题设计得非常巧妙，很多学生看到条件[am+n=aman]会感觉比较陌生，但是当取[m=1]时，问题就转化为了相邻两项间的关系，由等比数列的定义就可以判断出[an]是等比数列，然后再用等比数列前[n]项和公式即可解得[k=4.] 此题的亮点在于巧妙地考查了等比数列的定义.

总之，2020年高考中，数列考点变化不大. 从知识结构角度来看，回归教材、重视基础，考查了数列的核心知识及本质特征，兼顾了数列与其他知识的综合;从方法能力角度来看，灵活多样、突出本质，考查了数列的基本思想和方法，兼顾数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养的发展.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]王峥，胡水林，张金良. 2019年高考“数列”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2019（7 / 8）：64-69，94.

[3]苗孟义，张金良. 2019年高考“数列”专题解题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2019（7 / 8）：70-79.