2020年高考“数列”专题命题分析

李叶 薛红霞

摘  要：以2020年高考数学全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷为主并兼顾其他试卷，从题型分值、难度分布、思想方法、核心素养、新高考的命题特点和考查要求等角度出发，横向比较分析了数列试题的考查内容和命题特点，从基础性、综合性、创新性、应用性等方面进行了命题分析. 鉴于此，提出了2021年高考数列专题的命题趋势和复习备考建议，并编拟了数列模拟题.

关键词：2020年高考;数列;命题分析;复习建议

2020年高考数学试题数列部分继续坚持素养导向、能力为重的命题原则，试题重视数学本质、突出理性思维、批判质疑、勇于探究的科学素养，体现了对学生关键能力的考查，形成了素养与能力并举、知识与应用结合的命题特点. 同时，试题密切联系实际生活，让学生体会生活中数学的存在、作用和魅力，激发学生的思考热情和科学精神.

一、考查内容分析

1. 题型、题量和分值基本保持稳定

数列是高中数学的重要内容，高考重点考查的内容是等差数列和等比数列这两类最重要、最基本的数列模型. 2020年高考数学全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷的命题规律与往年类似，各份试卷中的数列试题题型各不相同：全国Ⅰ卷文科包括1道选择题和1道填空题，理科包括1道解答题;全国Ⅱ卷文科包括1道选择题和1道填空题，理科包括2道选择题;全国Ⅲ卷文科包括1道解答题，理科包括1道解答题. 坚持了以往有2道选择题或填空题则没有解答题、有1道解答题则没有选择题或填空题的命题规律. 每道选择题或填空题的分值是5分，解答题的分值是12分. 据此可以估计全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷中数列试题所占的分值在10 ～ 12分，分值保持了稳定. 其他试卷中基本包括1道选择题或填空题，1道解答题，分值因试卷而异.

2. 难度分布从易到难

全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷中数列试题的难度一般以容易题和中档题为主. 选择题和填空题遍布容易题、中档题和难题;解答题则为容易题或中档题. 以全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷为例，可以根据各种题型试题的位置判断其难易定位，具体如下表所示.

数列的选择题分布在试卷第4题 ～ 第10题的位置上，涵盖了简单题、中档题和较难题. 填空题主要为中档题或难题. 与往年相比，2020年的数列解答题都出现在第17题的位置，属于中档题.

其他7份试卷的难易度特征与上述三套试卷不尽相同：全国新高考Ⅰ卷和全国新高考Ⅱ卷中数列试题的位置稍靠后，属于中档题;江苏卷、上海卷、北京卷中的数列解答题位置靠后，属于难度较大的压轴题.

3. 考点与内容覆盖全面

本部分的考点涵盖了数列全部内容. 2020年高考全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷中共有9道数列试题，考点与内容主要包括：（1）等差（比）数列的通项公式、前n项和公式;（2）等差（比）数列的概念的判定和性质;（3）数学归纳法在证明数列命题中的应用;（4）能在具体的问题情境中识别数列的等差（比）关系，并能用等差（比）数列的有关知识解决相应问题;（5）数列的综合应用. 其中，等差（比）数列的概念及性质、通项公式、前n项和公式等仍是考查的重点. 而很多试题与函数、方程、不等式、数学归纳法等在知识的交会处命题. 例如，全国Ⅰ卷文科第16题;全国Ⅲ卷理科第17题，文科第17题. 从总体上看，2020年高考数学试卷数列试题考点分布清晰，延续了前几年的考查方向和命题风格，更进一步突出了数学学科的特点，突出体现了考查数列的基础性、综合性、创新性，如北京卷第21题.

4. 思想方法分析

数列作为高中数学的重要内容，蕴涵着极其丰富的思想方法. 因此，如果能够有效地运用数学思想方法去分析问题、解决问题，不仅能够强化学生的解题意识，而且对快速、巧妙地解题也大有裨益. 2020年的高考试题以等差（比）数列的概念、通项公式与前n项和公式等基础知识、基本活动经验为载体，加强了对数学基本思想和基本方法的考查. 现就2020年高考数列试题中体现明显的数学思想和方法进行阐述.

（1）函数与方程思想.

等差（比）数列[an]的通项公式、前[n]项和公式集中了等差（比）数列的五个基本元素[a1，d]（或[q]），[n，an，Sn]之间的关系.“知三求二”是等差（比）数列中最基本的题型. 方程思想就是根据题目中已知量和未知量之间的等量关系，列出方程（或方程组），通过研究方程（或方程组），以求得问题的解决. 在数列中体现为根据已知条件，利用等差（比）数列的通项公式、求和公式，或等差（比）数列的基本性质，构造方程（或方程组）解题. 例如，全国Ⅰ卷文科第16题、理科第17题，全国Ⅱ卷文科第6题和第14题、理科第4题和第6题，全国Ⅲ卷文科第17题.

从函数观点来看，数列是定义域为正整数集或它的有限子集[1，2，3，…，n]上的函数，当自变量从小到大取值时得到相应的一列函数值. 在《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）中也提出了“了解数列是一种特殊的函数，了解等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性”的要求. 而且利用函数思想，通过函数形式，结合函数的性质解数列题，思路自然、方法简洁. 2020年的高考数学试卷中，对此进行了重点考查，如北京卷第8题.

（2）转化与化归思想.

转化与化归思想是在研究和解决有关问题时把待解決或难解决的问题通过某种方式转化为已解决或比较容易解决的问题的一种思维方式.

在数列问题中常见的转化类型有：把复杂的数列问题转化为等差（比）数列问题，把实际问题转化为数列问题等. 常见的转化方法包括构造法、换元法、待定系数法等. 应用转化与化归思想解题的原则是化难为易、化生为熟、化繁为简，并保持等价转化. 例如，全国Ⅱ卷理科第4题以天坛的圜丘坛为背景，将数学与中国古代文化相结合，学生认真阅读题干并进行分析后，可以将实际问题转化为等差数列问题，进而与等差数列联系起来求解，体现了转化与化归的数学思想方法.

运用到转化与划归思想的试题还包括全国Ⅱ卷理科第6题、全国Ⅲ卷理科第17题和北京卷第21题等.

（3）分类与整合思想.

分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法. 数学中的许多问题都离不开分类讨论，而且分类讨论能很好地考查学生思维的条理性和严谨性. 分类讨论需要从具体问题出发，选取适当的分类标准，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究. 有分有合、先分后合是分类整合思想的本质属性. 运用到分类与整合思想的试题包括全国Ⅰ卷文科第16题、全国新高考Ⅰ卷第18题、北京卷第21题等.

（4）注重通性、通法.

2020年高考数学试题继续坚持素养导向、能力为重的命题原则，试题重视数学本质、突出理性思维，解题越来越注重通性、通法. 例如，在考查数列求和问题时重点考查了等差（比）数列的求和公式及求和方法（裂项相消法、错位相减法）等，指导学生要回归教材、注重基础. 其中，全国Ⅰ卷理科第17题和全国Ⅲ卷理科第17题都考查了错位相减法.

5. 文、理科试题存在一定差异

综观2020年全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷，文、理科试题的命题背景和知识点同根、同源，但具体考查形式上有差异，并且三套试卷特点也不相同.

全国Ⅰ卷的文、理科试卷出现了不同的考查形式，理科第17题是基础题;文科第16题不仅考查数列的递推公式的应用、数列的并项求和，而且还考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.

全国Ⅱ卷文、理科试题也有差异. 理科第4题和第12题考查了学生的阅读理解能力、知识迁移能力和分析探究能力. 其中，理科第6题考查利用等比数列求和公式求参数的值，解答的关键在于求出数列的通项公式，主要考查学生的计算能力，属于中档题;文科第6题和第14题主要考查了求等差（比）数列的通项公式与前n项和，解题的关键是掌握等差（比）数列的通项公式和前n项和公式，考查学生分析问题的能力和计算能力，属于基础题.

全国Ⅲ卷理科第17题主要考查了求等差数列的通项公式，以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题;文科第17题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.

二、命题思路分析

对2020年高考13份试卷中的23道数列试题进行分类整理后，可以发现全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷数列试题形成了“素养与能力并举，知识与应用结合”的命题特点，试卷命题兼具基础性、综合性、应用性和创新性，难度合理、区分度强，很好地起到了检验和选拔的作用，同时也为即将进行高考改革地区的命题方向进行了很好的铺垫，对一线教师和学生具有很好的指导意义.

全国新高考Ⅰ卷（Ⅱ卷）本着新高考“一核”“四层”“四翼”的评价理念，注重学科特点，从学科思维价值和整体高度的角度出发，突出了数学知识的基础性和综合性，以数列的重点知识和主干知识为主体，着意将数学知识、能力与素质融为一体，全面检测了学生的数学学科核心素养，在知识交会处设计试题，实现了对数学基础知识的考查达到必要的深度.

《标准》要求：了解数列的概念;探索并掌握等差（比）数列的变化规律，建立通项公式和前n项和公式;能运用等差（比）数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用;了解等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性.

综观这23道数列试题，为了实现考查内容和考查要求，以试题情境为载体，分别从课程学习情境、探索创新情境、生活实际情境出发，根据数学学科的特点，使得高考数学试题更能深刻、精准地反映学生独立分析问题、解决问题的能力.

1. 突出基础性，强调基础扎实

数学课程的学习情境包括数学概念建构、数学原理习得、数学运算学习、数学推理学习等，关注已有知识的基础和准备程度，主要是考查学生的数学基础. 2020年的高考数列试题努力创设数学课程学习情境，承载数列的重点考查内容，突出高考基础性的要求.

例1 （全国Ⅰ卷·文10）设[an]是等比数列，且[a1+][a2+a3=1，a2+a3+a4=2，] 则[a6+a7+a8]的值为（    ）.

（A）12   （B）24   （C）30   （D）32

【评析】此题是典型的基本量计算题，突出基础性. 但是设计巧妙，既可以利用等比数列的基本量来正向求解，也可以从问题的全局出发，依据题干中的某些条件，利用等比数列的性质“若[an]是等比数列，则[an+an+1+an+2]也是等比数列”求解. 变换思考问题的角度，整体处理，简化问题，减少运算量，从而使解法变得简洁.

类似试题还包括全国Ⅱ卷文科第6题、第14题，浙江卷第11题，上海卷第8题，全国新高考Ⅰ卷（Ⅱ卷）第14题等. 一方面，全面考查了学生的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验;另一方面，有助于学生在考场上平复心态，正常稳定地发挥自身实力，增强了试卷的信度，为高校选才提供了关于学生应对大学数学学习准备程度的依据.

例2 （全国Ⅰ卷·理17）设[an]是公比不为1的等比数列，[a1]为[a2，a3]的等差中项.

（1）求[an]的公比;

（2）若[a1=1，] 求数列[nan]的前[n]项和.

【评析】数列的概念、等差（比）数列的通项公式和求和公式这三部分是数列部分的骨干知识，属于高考必考内容. 而高考数学的基礎性强调数学的通用性和工具性，关注学生未来工作和学习所必须具备的知识基础和学科主干内容. 通过全面、系统地考查核心概念、基本原理、基本方法，使学生形成牢固的知识根基，掌握解决问题的工具. 此题的第（1）小题由已知结合等差中项关系，建立关于公比q的方程，求解即可得出结论;第（2）小题可由第（1）小题结合条件得出[an]的通项，根据[nan]的通项公式特征，用错位相减法即可求出结论，是典型的等差（比）数列的基本量计算题. 考查了方程思想和数学运算素养，属于基础题. 解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的求和方法和求和公式，并能灵活运用.

类似试题还包括全国新高考Ⅰ卷（Ⅱ卷）第18题，全国Ⅲ卷文科第17题，考查数列的基础内容，都是从熟悉的情境中考查学生灵活应用知识的关键能力. 全国Ⅲ卷理科第17题更突出了新高考的要求，要求学生用数学归纳法解决数列问题，更加适应终身学习的时代要求，为学生的终身学习奠定了坚实的基础.

2. 突出综合性，强调融会贯通

高中数学的综合性强调触类旁通、融会贯通. 以必备知识为例，各个知识点之间不是孤立的，而是处于整体知识网络中，从高考试题中我们能感受到试题从知识的完整性出发，对学科内容进行融合，对学生的综合素质进行全面考查，促进了学生从整体上建构知识框架.

例3 （全国Ⅰ卷·文16）数列[an]满足[an+2+][-1nan=3n-1，] 前16项和为540，则[a1]的值为      .

【评析】数列既可以独立命题，用来考查学生的基础知识和基本技能，也可以依托其他数学知识，在思想方法和数学能力之间交会命题，从而实现高考数学全面考核知识的目标，体现对数学学科核心素养的考查. 此题在考查数列递推公式的应用和数列并项求和基础上，考查了分类讨论思想和数学计算能力，综合性强，属于较难题. 由此可见，数列可以与其他知识相结合，形成具有内在逻辑关系的整体网络结构，考查学生的综合运用能力.

类似试题还包括北京卷第8题，虽然属于中档题，但是所求结论由学生熟悉的等差数列前n项和的最值变为求等差数列前n项积的最值问题，基于学科素养导向确定了此题所考查的关键能力和必备知识;全国Ⅱ卷理科第6题、浙江卷第7题、江苏卷第11题引导学生的关注点从“解题”转向“解决问题”，从“做题”转向“做人做事”，考查学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的理性思维能力.

例4 （全国新高考Ⅰ卷·18）已知公比大于[1]的等比数列[an]满足[a2+a4=20，a3=8.]

（1）求[an]的通项公式;

（2）记[bm]为[an]在区间[0，m m∈N*]中的项的个数，求数列[bm]的前[100]项和[S100.]

【评析】此题属于中档题. 第（1）小题考查数列的通项公式;第（2）小题通过分析数列[bm]的规律，求得数列[bm]的前[100]项和[S100，] 是数列求和的综合应用. 第（2）小题将考查的重点放在了在考查能力和素养的过程中必须具备的可迁移的知识上，考查学生在复杂的情境中解决问题的能力，对学科素养的考查综合性更强，具有比较好的区分度.

类似试题还包括天津卷第19题、浙江卷第20题，考查了转化与化归、分类讨论的数学思想，以及数学运算素养.

3. 注重创新性，强调灵活性

强调对知识的灵活应用，需要学生对所学知识进行拓展及创新性运用，需要重新建立数学模型. 创新性的考查要有创新情境，数学探索创新情境包括推演数学命题、数学探究、数据分析、数学实验等，这些情境关注与未来学习的关联和对数学学科内部更深入的探索，是考查学生数学基础知识和数学抽象素养的重要载体. 进而考查学生的理性思维素养、数学探究素养和创新能力. 高中数学学科提出5项关键能力：逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力、创新能力. 其中，前4项关键能力具有鲜明的数学学科特点，是学生学习数学必须具备的能力，也是数学教学着力培养的能力，而创新能力集中反映高考数学的学科特点，以及高校人才选拔的要求和国家选才的意志.

例5 （上海卷·21）有限数列[an，] 若满足[a1-a2≤a1-a3≤ … ≤a1-am，] [m]是项数，则称[an]满足性质[p.]

（1）判断数列[3，2，5，1]和[4，3，2，5，1]是否具有性质[p，] 试说明理由.

（2）若[a1=1，] 公比为[q]的等比数列，项数为10，具有性质[p，] 求[q]的取值范围.

（3）若[an]是[1，2， … ，m]的一个排列[m≥4，bk=][ak+1 k=1，2，…，m-1， an， bn]都具有性质[p，] 求所有满足条件的[an.]

【评析】此题作为上海卷的压轴题，是一道以数列为探索情境的经典试题，其突出创新性，达到了考查学生探究能力的目的. 这种创新是开放的，也是有价值的. 学生面对創新试题时，可以迁移原有概念的形成过程和原有的原理来解决问题;有时还需要用类比的方法去理解新的定义，强化对新定义的理解，要求透过现象看本质.

类似试题还包括江苏卷第20题、北京卷第21题. 意在考查学生的转化能力和推理能力，突出数学学科特点.

4. 突出应用性，强调学以致用

高考数学的应用性强调学以致用，高考试题通过联系生产、生活实际的试题情境设计，将抽象的数学概念与实际生活相结合，要求学生运用数学知识、思想和方法对实际问题进行分析与研究，进而解决问题，是考查学生数学应用素养、理性思维素养和数学文化素养的重要载体.

例6 （全国Ⅱ卷·理4）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所（如下图），分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（    ）.

【评析】此题的情境是0 - 1周期序列在通信技术中的应用，而这也是当今学生关注的话题，“新题”不一定是“难题”，以不变应万变才是制胜法宝. 此题考查数列新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，属于中档题.

三、复习建议

如今的高中生应该如何做好未来学习的规划，有效提升自身的数学素养、数学思维和能力？笔者在这里给出几点建议.

1. 回归教材，重视基础，关注公式、概念、定理、定义的生成过程与原理

掌握基础内容，面对基础题时，才能得心应手，快速解决;面对创新题时，才可以迁移原有概念的形成过程及原理解決问题;面对较难的综合题时，才有能力快速分解题目，产生思路，逐一破解.

2. 培养能力、注重思维，训练试验探究的精神

试题是不断变化的，解题训练的目的也不是背题目、背题型，而是要挖掘解题背后的思维逻辑，强化分析试题的过程，这样才能在面对创新题、综合题、变式题时运用数学思维分析破解.

3. 观察生活、抽象提炼，分析有实际背景的数学问题

数学在日常生活中是无处不在的，音乐中有数学、美术中也有数学，数学也蕴含在建筑、交通、贸易、游戏等各种生活场景中，学生应该有意识地主动发现生活中的数学，并用所学的知识加以分析、尝试解决. 久而久之，就能够形成较好的数学抽象能力和数学应用思维，这不仅有助于解题，更有助于提升学生的数学观点，培养数学素养.

四、模拟题欣赏

1. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏. 在某种玩法中，用[an]表示解下[n n≤9，n∈N*]个圆环所需的移动最少次数，[an]满足[a1=1，] 且[an=2an-1-1，n为偶数，2an-1+2，n为奇数.] 则解下[4]个圆环所需的最少移动次数为（    ）.

参考文献：

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