从迪厄多内的书中窥见数学

张青霞

【摘 要】《当代数学：为了人类心智的荣耀.》该书作者让·迪厄多内是著名数学家，布尔巴基学派的代表人物之一。本书是特地为这样一些读者写的：他们由于各种原因对科学感兴趣，但不是职业数学家。虽然这些人喜欢阅读和听取关于自然科学的讲解，并感到从这些讲解中獲得了知识，开阔了眼界，但他们发现关于当代数学的文章都是用无法理解的行话写就，而且讨论的概念过于抽象，使人趣味索然。本书的目的是试图解释这种对数学缺乏理解的现象的原因，并试图打破这种隔阂。

【关键词】布尔巴基学派;数学史;数论;科普

大家知道，数学是2+3=5这样一门抽象的科学。例如：“两头牛加三头牛等于五头牛”，“两棵树加三棵树等于五棵树”，人类第一个伟大的数学家正是从这类具体的事实概括出了这样一个达四海亘古今、囊括宇宙万物的伟大的抽象公式：2+3=5，它好比是说：“两只空筐加三只空筐等于五只空筐。”筐子的“空”，是为了能随意装进天地间万物。如果只能装一样东西，倒不出来，那数学的用处就极有限了。

在迪厄多内的书中是这样开头的“数学在人类活动中所占的地位是自相矛盾的.当今发达国家中几乎每个人都知道，数学是一门重要学科，大多数科学技术分支都用得着它，而且比以往任何时候都要多的职业，如果没有某些数学知识，就无法从事然而，如果你问‘数学是什么？’或问‘数学家做些什么？’，那么除了荒唐可笑的回答外，你几乎会一无所获，除非你的对话者至少经历过大学二年级的数学训练即使别的科学领域里的著名专家，对于数学家的工作也往往只有一些反常的看法。由于每个人都是在上小学时通过数字演算接触数学的，所以传播最广的看法是，数学家就是从事这些演算的内行里手随着电子计算机及其语言的出现，人们现在会认为这意味着数学家就是特别善于为这些演算“编制程序”的人，他们整天做的就是这件事情.工程师们老是在寻找他们感兴趣的量的最优值，他们把数学家看作储藏公式的仓库保管员，应他们的要求为他们把数学家看作储藏公式的仓库保管员，应他们的要求为他们提供所需的公式但是眼下由于媒体大量报导别的科学部门所取得的进展，因此几乎所有当代人都坚定地持有这样一种最能导致误解的看法，即数学学科已不再有什么东西可以去发现，数学家们的工作只能限于把以往年代的遗产传下去。”

因此，我们可以看出他当时撰写这本书的本意和急于和大家分享数学知识的心理。

数学追求一种完全确定、完全可靠的知识。在这本小书里可以看到许多被吸引到数学中来的人正是因为数学有这样的特点。例如说，欧几里得平面上的三角形内角和为180°，这绝不是说“在某种条件下”，“绝大部分”三角形的内角和“在某种误差范围内”为180°，而是在命题的规定范围内，一切三角形的内角和不多不少为180°。产生这个特点的原因可以由其对象和方法两个方面来说明。从希腊的文化背景中形成了数学的对象并不只是具体问题，数学所探讨的不是转瞬即逝的知识，而是某种永恒不变的东西。所以，数学的对象必须有明确无误的概念，而且其方法必须由明确无误的命题开始，并服从明确无误的推理规则，借以达到正确的结论。通过纯粹的思维竟能在认识宇宙上达到如此确定无疑的地步，当然会给一切需要思维的人以极大的启发。人们自然会要求在一切领域中都这样去做。正是因为这样，而且也仅仅因为这样，数学方法既成为人类认识方法的一个典范，也成为人在认识宇宙和人类自己时必须持有的客观态度的一个标准。这样一种求真的态度，倾毕生之力用理性的思维去解开那伟大而永恒的谜――宇宙和人类的真面目，这样一种求真的态度是人类文化发展到高度的标志。

数学作为人类文化组成部分的另一个特点是它不断追求最简单的、最深层次的、超出人类感官所及的宇宙的根本。所有这些研究都是在极抽象的形式下进行的。这是一种化繁为简以求统一的过程。从古希腊起，人们就有一个信念：冥冥之中最深处宇宙有一个伟大的、统一的、而且简单的设计图，这是一个数学设计图。

数学的再一个特点是它不仅研究宇宙的规律，而且也研究它自己。在发挥自己力量的同时又研究自己的局限性，从不担心否定自己，而是不断反思、不断批判自己，并且以此开辟自己前进的道路。它不断致力于分析自己的概念，分析自己的逻辑结构。它不断地反思：自己的概念、自己的方法能走多远？从希腊时代起，毕达哥拉斯认为宇宙即数（他是指自然数），可是遇到了无理数，后来的希腊人只好采用不可公度理论，因为弄不清，就干脆不讲无理数，而讨论一般的线段长。希腊人甚至不讲数，使希腊数学与其他民族——例如中国——相比呈现了缺点。但即令如此，也要保持高度严整，而不允许采取折衷主义的态度。历史终于证明，正是希腊人开辟了研究无理数系的道路。他们研究数学，却同时考虑数学研究的对象是否存在。大家都说，数学最需要严格性，数学家就要问什么叫严格性？大家都说，数学在证明一串串的定理，数学家就要问什么叫证明？数学越发展，取得的成就越大，数学家就越要问自己的基础是不是巩固。越是在表面上看来没有问题的地方，越要找出问题来。

到了最后，数学开始怀疑起自己的整体，考虑自己的力量界限何在。大概是到了19世纪末年，数学向自己提出的问题是：“我真是一个没有矛盾的体系吗？我真正提供了完全可靠、确定无疑的知识吗？我自认为是在追求真理，可是‘真’究竟是指什么？我证明了某些对象的存在，或者说我无矛盾地创造了自己的研究对象，可是它们确实存在吗？如果我不能真正地把这些东西构造出来，又怎么知道它是存在的呢？我是不是一张空头支票，一张没有银行的支票呢？”

总之，数学是一株参天大树，它向天空伸出自己的枝叶，吸收阳光。它不断扩展自己的领地，在它的树干上有越来越多的鸟巢，它为越来越多的学科提供支持，也从越来越多的学科中吸取营养。它又把自己的根伸向越来越深的理性思维的土地中，使它越来越牢固地站立。从这个意义上来讲，数学是人类理性发展最高的成就之一。

数学作为文化的一部分，其最根本的特征是它表达了一种探索精神。其永恒的主题是“认识宇宙，也认识人类自己”。在这个探索过程中，数学把理性思维的力量发挥到极致。历史已经证明，而且将继续证明，一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。

傅里叶先生认为，数学的主要目的是服务人类、解释自然现象;但像他这样的哲学家应当知道，科学的唯一目的是为了人类心智的荣耀， 因此，一个关于数的问题与一个关于宇宙体系的问题具有同样的意义。

《当代数学：为了人类心智的荣耀.》该书作者简介

让·亚历山大·欧仁·迪厄多内（1906-7-1-1992-11-29），法国数学家。生于里尔，卒于巴黎。1924～1927年在巴黎高等师范学校学习，1931年获博士学位。1933～1937年任雷恩大学讲师。1937～1946年任南锡大学教授，后在巴西及美国大学工作。1958年任法国高等科学研究院教授。1970年任尼斯大学教授。1968年当选法国科学院院士。迪厄多内是布尔巴基学派的创始人之一，迪厄多内的研究领域十分广阔，涉及一般拓扑学、抽象代数、典型群、形式群、泛函分析、复分析、代数几何以及数学史等诸多领域，都有重要贡献。

【参考文献】

[1] C·G·J雅可比. Gesammelte Werke（全集）， 第1卷，柏林（ Reimer），1881.

[2] 迪厄多内.当代数学 ： 为了人类心智的荣耀.上海教育出版社.1999.07.01.