妙用椭圆积分计算单摆周期

胡上东

摘 要：根据2003年颁布的《普通高中物理课程标准（实验）》对单摆周期公式的要求：（1）通过实验，定性探究单摆的周期与摆长的关系;（2）知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。根据这一标准，不要求对单摆的周期公式进行推导。作为新课程实施教学的一线教师，对单摆周期公式的推导过程要知其所以然，才能对学生实施更好的教学。笔者用数学分析中的椭圆积分进行推导，供大家教学中参考。

关键词：新课程;单摆周期;推导过程;椭圆积分

山东科学科技出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《物理》选修3—4第一章“单摆”这一节中，提出了单摆的周期与摆长l的平方根成正比，与重力加速度g的平方根成反比，与振幅、摆球的质量无关，并确定了单摆的周期公式T，这些课本只用了一句话代过，却没有特别地加以说明，笔者也翻阅了其他版本的教材，大部分教材都没有对此公式进行推导证明，只有一小部分辅导材料用了简谐振动的微分方程进行推导，推导过程中计算相对会复杂一些，就这问题笔者用数学分析中的椭圆积分进行推导，供大家教学中参考。

如图1所示，由一根不可伸长、不计质量的绳长为l，一端固定，另一端系质量为m的小球组成的单摆，O点为摆的平衡位置。

为了研究摆动的一般规律，设单摆的最大摆角为α，当摆角为θ时，速度大小为v，此时摆球的动能为，重力势能为（取最低点O重力势能为0），根据机械能守恒定律（不考虑空气阻力）有：

（其中C为常数）（1）

根據边界条件：（α为单摆的最大摆角），代入（1）式可得常数，故（1）式可转化为

（2）

又，代入（2）中可得：

（3）

两边开根号可得：

又

所以：（4）

根据（4），若从平衡位置O点算起，从O点到P所需的时间t可表示为

（5）

由于θ范围未知，可作如下代换

两边微分：

即（5）式可作如下转换

（6）

（在《数学分析》中将类型的积分，称为第一类椭圆积分）

这时候我们注意到刚才做的代换：

当θ=α时，;当θ=0时，φ=0;所以

所以周期公式可以表示为：

（7）

由（7）可以看出，只有当α很小时，，

从而有：

通常说的单摆是指一般非线性摆在摆角振幅很小时的情形。等时摆，周期与振幅的大小无关，是一种理想的模型。

参考文献

[1]《中学新课标资源库（物理卷）》，北京工业大学出版社，教育部《基础教育课程》编辑部组织编写。

[2]《数学分析》第二版，高等教育出版社，复旦大学数学系陈传璋、金福临、朱学炎、欧阳光中编。