基于尖点突变模型的水平矿柱稳定性分析

陈偶 王能跃 吴岩佩

摘要： 为研究某矿山在预留厚20 m水平矿柱条件下能否保证大面积连续地下开采时的矿岩稳定，建立水平矿柱受力模型，进而推导出基于尖点突变理论的水平矿柱失稳判据，开展ANSYS数值模拟研究，提出水平矿柱稳定系数的评价指标，对水平矿柱的稳定性进行分析。结果表明：水平矿柱失稳与否，取决于矿柱的材料性质和留设尺寸，以及下部充填体的材料性质，且水平地应力是决定矿柱稳定的关键外部因素;水平矿柱第一主应力为-4.2～-33.2 MPa， 未出现应力集中及失稳破坏;第三主应力与等效主应力的极值作用于Ⅶ盘区，矿柱各盘区稳定性较高，稳定系数均超过1.4。 在预留厚20 m水平矿柱的条件下，矿柱能保持稳定，可确保矿山安全高效开采，研究结果可为同类型矿山提供指导。

关键词： 充填采矿法;进路;大面积连续回采;水平矿柱;稳定性;尖点突变理论;数值模拟;稳定系数

中图分类号：TD853.34 文献标志码：A

文章编号：1001-1277（2020）11-0033-05 doi：10.11792/hj20201106

引 言

地下矿山在采用充填采矿法进行多中段大面积连续回采过程中，会产生大量的充填采空区，这种大面积充填体相比原岩强度低，承载能力差。为了维护矿山整体稳定性，以及保持矿山生产能力，一般会在两个中段间预留水平矿柱。此外，露天转地下开采时，会在露天坑底与地下矿首采分层的相接处留设厚度较大的水平保安矿柱[1]。如果预留矿柱的稳定性差，就可能导致充填体失稳垮塌、关键井巷工程受损、生产设备损毁及人员伤亡等灾害事故发生[2]。研究表明，矿柱厚度是影响矿柱稳定性的关键评价指标之一。增加矿柱厚度，可以提高矿柱承载能力，提升矿柱稳定性。但是，矿柱厚度设计过大，会严重浪费矿产资源，导致矿山的经济效益受到影响。因此，合理设计矿柱尺寸对矿山安全和资源回收具有重要意义。

某矿山在进行多中段大面积连续地下回采过程中，基于工程类比法，拟在1 150～1 170 m水平留设厚20 m的水平矿柱。为研究该矿山能否在现有预留矿柱厚度的条件下实现大规模安全高效开采，本文通过建立水平矿柱受力模型，进而推导出基于尖点突变理论的水平矿柱失稳判据，结合ANSYA数值模拟，提出稳定系数评价体系，对水平矿柱的稳定性进行分析。

1 工程概况

该矿山属于急倾斜厚大难采矿体，地质构造复杂，矿区水平构造应力高，节理裂隙极为发育，矿岩体破碎，使得矿体开采面临极大挑战。针对这些问题，摸索出了适用于该矿山的机械化盘区下向水平分层进路胶结充填采矿法[3]，并采用多中段无矿柱大面积连续回采工艺。该工艺主要结构参数为：中段高100～150 m;分段高20 m，若干分段组成一个中段;分层高度一般为4 m。斜坡道连通中段与各分段，分层联络道连接分段与各分层;进路根据矿体厚度，沿矿体走向或垂直矿体走向布置[4]。回采顺序为自上而下逐层进行，盘区内回采顺序为先上盘后下盘，先两翼后中间。目前矿区回采中段主要为1 150 m水平、1 000 m水平和850 m水平。

水平矿柱位于1 150 m水平以上、厚度20 m的一个富矿水平层，其地质模型见图1。1 150 m水平的水平矿柱为富矿资源，其上部和下部均为大体积充填体，是维护上、下盘围岩和上、下部充填体稳定的一种大体积板状岩体受力结构。随着1 150 m水平开采的延伸和向下推进，开采暴露的矿柱面积逐步扩大，潜在的水平矿柱失稳可能性大大增加，可能影响矿山的正常生产。因此，亟需开展矿柱稳定性的相关研究，为矿山的安全生产提供指导。

2 尖点突变模型及稳定性分析

2.1 水平矿柱力学模型

水平矿柱上下部均为充填体，与矿体弹性模量相比，充填体弹性模量小得多。水平矿柱的受力主要分为3部分， 即上覆岩体和其自身的重力，下部充填体提供的支撑力，以及作用于水平矿柱两端的水平地应力。

结合水平矿柱的受力特征，同时参考水平矿柱地质模型，可以将水平矿柱受力模型简化为两端施加水平力、底部受到支撑力的弹性地基梁[5]，梁的宽度设为单位宽度，考察长度与厚度对其稳定性的影响。水平矿柱简化受力模型见图2。其中，q为上覆岩体重力与水平矿柱自重均布荷载之和;p为水平矿柱受到的水平地应力构成的集中力，p=σδ（σ为水平地应力）;δ和l分别为水平矿柱的厚度和长度;假设弹性地基的弹性系数为t，则弹性地基对水平矿柱的支撑力F=Yt（Y为水平矿柱的挠度）。

假设水平矿柱在图2所示受力条件下沿轴线产生弯曲变形，则可用傅里叶级数[6]（见式（1））表示矿柱轴线的挠度方程。

Y（x）=∑ ∞ n=1 fnsin nπx l =f1sinπx l +

f2sin2πx l +…+fnsinnπx l （1）

式中：Y（x）為沿矿柱轴线方向任意位置的挠度（mm）;fn为第n次谐波振幅（mm）;x为轴线上矿柱端点到任意位置的长度（m）。

2.2 水平矿柱势能函数

根据突变理论[7-9]，首先需要求出系统的总势能，进而建立突变模型，水平矿柱力学系统的势能函数（Ep）可由式（2）表示。

Ep=V-W（2）

式中：Ep为系统的总势能（J）;V为系统的应变能（J）;W为系统外力所做的功（J）。

系统的应变能由式（3）确定。

V= EI 2 ∫l 0k2dx   （3）

式中：E为矿柱的弹性模量（MPa）;I为矿柱横截面惯性矩（m4）;k为水平矿柱的曲率。

系统外力所做的功（W）由水平地应力（p）所做的功（Wp）、上部充填体压力所做的功（Wq）和下部充填体支撑力所做的功（Wf）组成。

水平地应力（p）所做的功（Wp）由式（4）确定。

Wp= p 2 ∫l 0Y′2（x）dx=- pπ2 4l f 2   （4）

上部充填体压力所做的功（Wq）由式（5）确定。

Wq=∫l 0qY（x）dx= ql 2 f   （5）

下部充填体支撑力所做的功（Wf）由式（6）确定。

Wf=∫l 0FY（x）dx= 3tl 16 f 2   （6）

系统的总势能可近似由式（7）确定。

Ep= EIπ6 4l5 f4+ π2 4l3 （4EIπ2-pl2+ 3tl4 4π2 ）f2- ql 2 f（7）

令f=EIπ6 4l5- 1 4 θ，θ为简化公式而取的替代符号，则式（7）可由式（8）表示为：

Ep=θ4+EIπ6 4l5- 1 24EIπ2-pl2+ 3tl4 4π2θ2- ql 2 EIπ6 4l5- 1 4 θ （8）

令u=EIπ6 4l5- 1 24EIπ2-pl2+ 3tl4 4π2，v=- ql 2 EIπ6 4l5- 1 4 ，则式（8）可简化为式（9）：

Ep=θ4+uθ2+vθ（9）

2.3 水平矿柱的尖点突变模型

基于突变理论， 结合式（9），水平矿柱的总势能（Ep）可以看作以θ为状态变量，u、v为控制变量的尖点突变模型。该模型的平衡方程可由式（10）表示。

4θ3+2uθ+v=0（10）

根据求导法则，若式（10）有解，则需要满足式（11）成立的条件，即：

12θ2+2u=0（11）

由式（10）、式 （11）联立可以求出水平矿柱尖点突变模型的分叉点集满足式（12）。

8u3+27v2=0（12）

由于27v2≥0，要使得式（12）有解，必须满足8u3≤0，即u≤0，代入u的表达式，得式（13）。

EIπ6 4l5- 1[]24EIπ2-pl2+ 3tl4 4π2≤0（13）

进而可得出水平矿柱的失稳判据为：

p≥ Eδ3π2 3l2 + 3tl2 4π2 （14）

综上所述：水平矿柱失稳与否取决于水平矿柱的材料性质（E）和几何尺寸（δ、l），充填体的弹性系数（t），以及水平地应力（p）;而在水平矿柱物理参数及下部充填体材料性质确定的情况下，水平地应力是决定水平矿柱发生突变失稳的主要因素。

2.4 水平礦柱稳定性分析

水平矿柱的弹性模量为8.6 GPa，长度取400～800 m，弹性系数为40 MPa/m。利用水平矿柱的失稳判据，得出水平矿柱在不同厚度及长度下发生失稳所需要的水平地应力见表1。

由矿山地应力实测资料可知，矿区最大水平地应力为30～50 MPa，假定由于开采引起的水平应力集中系数为5，则水平地应力为150～250 MPa。由表1可知，当水平矿柱厚度大于16 m时，其临界水平地应力值全部高于该范围的数值，而矿山在预留厚20 m水平矿柱的情况下，水平矿柱不会发生突变失稳破坏，且该厚度较为合理。

3 水平矿柱稳定性数值模拟

3.1 计算模型

利用ANSYS软件开展数值模拟研究[10-11]。水平矿柱受充填体及围岩的力学作用，需要建立相应的计算模型。水平矿柱主要位于1 150～1 170 m水平， 考虑开挖影响范围，模型的上边界选在1 110 m水平，下边界选在1 210 m水平，模型尺寸为长×宽×高=1 100 m×1 100 m×100 m，整个模型共78 103个单元，108 497个节点。 水平矿柱的有限元模型见图3-a），模型表面从左到右划分的8个区域，代表了实际的Ⅰ～Ⅷ 号8个盘区。充填体和围岩的有限元模型见图3-b）、图3-c）。

在进行有限元数值模拟过程中，设定材料的本构模型为DP模型，模拟采用的岩体参数见表2。在模型底部施加固定位移约束;在模型侧面施加应力边界条件，边界应力按照矿区实测初始地应力设置;模型顶部施加应力边界条件，即上覆岩层重力。

3.2 模拟结果及分析

3.2.1 第三主应力

水平矿柱的第三主应力分布见图4。

从图4可以看出：水平矿柱受到压应力的作用，各盘区的边界应力较大，第三主应力为14.6～96.5 MPa，内部区域的应力为14.6～51.0 MPa。水平矿柱东部盘区受到的压力明显高于西部，最大压应力作用在第Ⅶ盘区1 150 m水平北部，由于最大作用力即将达到矿体的抗压强度值（104 MPa），所以该区域可能存在受压导致突变失稳的风险，在进行采矿作业时，应对该区域进行重点关注。

3.2.2 第一主应力

水平矿柱的第一主应力分布见图5。从图5可以看出，水平矿柱的第一主应力为-4.2～-33.2 MPa， 且水平矿柱下部受力低于上部。由于水平矿柱所受的力较小，且没有过大的应力集中现象，因此水平矿柱不会因为受到水平力的作用而导致失稳破坏。

3.2.3 等效应力场

水平矿柱等效应力场分布见图6。该图可以初步判断矿柱上的应力集中区。从图6可以看出，整个模型内水平矿柱等效应力为5.2～62.0 MPa。等效应力最大值出现在第Ⅶ盘区1 150 m水平东南边界处，该处同样是下一步矿体开采应着重注意的区域。另外，在各个盘区与充填体接触的区域，水平矿柱的等效应力均较大，说明这些区域是采矿过程中的危险区域，应重点关注这些区域的应力变化情况。

3.3 稳定系数评价模型建立

通过数值模拟研究发现，虽然水平矿柱的局部区域应力稍大，但水平矿柱的整体稳定性较好，为了描述水平矿柱的稳定可靠程度，提出了矿柱稳定系数的概念，定义稳定系数（Fs）为：

Fs= τs τ （15）

式中

和τ= σ1-σ3 2 cos φ （16）

τs= C/tan φ- 1 2 （σ1+σ3） sin φcos φ （17）

式中：σ1为第一主应力（MPa）;σ3为第三主应力（MPa）;C为内聚力（MPa）;φ为内摩擦角（°）。

与该稳定系数对应的矿柱稳定性评价指标见表3。

通过计算水平矿柱的稳定系数，对水平矿柱稳定性进行定量评价。水平矿柱各盘区稳定系数见表4。

由表4可知：水平矿柱的稳定系数普遍较高，为1.40～3.90，安全性良好。整体来看，西部盘区（Ⅰ盘区、Ⅱ盘区、Ⅲ盘区）的稳定性优于中部和东部，东部盘区（Ⅶ盘区、Ⅷ盘区）的稳定性相对最低，但仍能保持稳定;水平矿柱的下部相对上部更稳定。

4 结 论

1）基于尖点突变模型，水平矿柱失稳与否取决于水平矿柱的材料性质和几何尺寸，充填体的材料性质，以及水平地应力;而在水平矿柱物理参数及下部充填体材料性质确定的情况下，水平地应力是决定水平矿柱发生突变失稳的关键因素。

2）水平矿柱第一主应力为-4.2～-33.2 MPa，未出现应力集中及失稳破坏，第三主应力与等效主应力的最大值出现在Ⅶ盘区;矿柱各盘区稳定性较高，稳定系数均超过1.40，且西部盘区稳定性最高，东部盘区相对较低;水平矿柱的下部相对上部更稳定。

3）综合分析，该矿山在预留厚20 m水平矿柱的条件下，由于下部充填体的支撑作用，矿柱能保持稳定，可确保矿山实现多中段大面积连续安全高效开采。

[参 考 文 献]

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Stability analysis of horizontal pillar based on cusp catastrophe model

Chen Ou，Wang Nengyue，Wu Yanpei

（ Guizhou Jinfeng Mining Limited ）

Abstract：In order to study whether a certain mine could guarantee the stability of the large-area continuous miningin the presence of a reserved 20 m-thick horizontal pillar，the horizontal pillars stress model was established，and then the criteria of horizontal pillar failure based on cusp catastrophe theory was deduced，ANSYS numerical simulation study was carried out，the evaluation index of the stability coefficient of the horizontal pillar was proposed，and the stability of the horizontal pillar was analyzed.The result shows that the stability of the horizontal pillar depends on the material properties and geometric dimensions set for the pillar，as well as the material property of the lower filling body，and the horizontal ground stress is a key external factor on the stability of the horizontal pillar;the first principal stress of the horizontal pillar is in the range of -4.2--33.2 MPa，and there is no possibility of stress concentration and tensile failure;the maximum value of the third principal stress and the equivalent principal stress appears in the Ⅶ panel，and the horizontal pillar stability coefficient exceeds 1.4，indicating high pillar stability.In the presence of reserved 20 m-thick horizontal pillar，the pillar can keep stable，which ensures safe and efficient mining in mines.The research results can provide guidance for similar mines.

Keywords： filling mining method;approach;large-area continuous mining;horizontal pillar;stability;cusp catastrophe theory;numerical simulation;stability coefficient