微进给机构垂向刚度建模求解

王梦

摘要：基于一种微进给机构，采用刚柔耦合的方法对机构进行等效建模，在等效模型的基础上对机构进行受力分析，并应用软件仿真及数值拟合的方法对机构的垂向刚度进行理论计算，构建起机构的垂向刚度与各项尺寸系数之间的理论模型。为给定垂向刚度下微进给机构的尺寸优化奠定理论基础。

关键词：微进给机构;等效模型;垂向刚度;受力分析;软件仿真

0  引言

微进给机构作为微机械加工及精密加工的执行机构，广泛应用于精度要求高的非圆对称截面及非轴对称截面的加工。因此对机构的性能要求很高[1]。由刘强教授等设计的微进给机构的工作原理是，一个音圈电机和压电致动器作为驱动元件，两个弯曲铰链作为导向的机制[2]。但是这种设计易产生垂向跳动。杨志军教授等设计的一种微进给机构也采用柔性铰链来进行微位移放大，但同时采用对称双薄膜机构，对垂向跳动进行了有效抑制[3]。

此微进给机构的拓扑优化可通过有限元优化软件求解，但是对给定垂向刚度下尺寸优化则需要通过建立理论模型求解。传统的计算方法如变分法[4]等，求解复杂且不便于后续优化。

本文给出了一种较为简单有效的方法来求解机构的垂向刚度。并采用软件验证及解析法对相关理论公式的推导进行参数修正，建立了机构的等效模型及垂向刚度与机构尺寸参数之间的理论模型。

1  微进给机构的理论受力分析

微进给机构的尺寸参数图如图1所示。为了便于计算，我們假设在梁右端加一竖直向下的力F，再求梁右端点的变形？棕。则机构垂向刚度的求解式为：

1.1 微进给机构等效模型的建立

在对机构进行受力分析时，参阅相关力学书籍并无直接可以沿用的计算公式。因此本文采用部分刚化叠加的方法来简化分析，将此机构等效为如下两个模型：

1.1.1 刚性梁模型

即将薄膜与铰链轴当成柔性的，梁作为刚性。其等效模型如图2所示。

其中ka为铰链轴的等效拉伸刚度，kb、kc为薄膜的拉伸刚度。

1.1.2 柔性梁模型

即将薄膜与铰链轴当成刚性，梁当成柔性。其中考虑到柔性梁受梁端点的垂向载荷时，AB段的变形可忽略不计。则其等效模型为：（图3）

1.2 理论求解

按照上述等效模型，主要包括刚性梁及柔性梁的等效垂向刚度求解。

1.2.1 刚性梁的刚度求解（图4）

将梁单独分析：（图5）

其中，ya、yb、yc分别为铰链轴及薄膜在分力Fa、Fb、Fc下的变形量。有：

其中，ka、kb、kc分别为铰链及薄膜的拉伸刚度。

①薄膜的刚度计算。

按照轴的拉伸刚度计算公式[5]，有：

②铰链轴等效刚度的计算。

为了验证所推导的铰链轴理论拉伸刚度公式的准确性，通过有限元分析软件Comsol对理论计算公式进行了验证。验证结果如表1所示。

可知，不同参数下的理论计算结果与软件分析结果之间的误差均在10%以内，是可行的。

1.2.2 柔性梁的刚度求解

柔性梁的模型如图4所示，其中BC段可等效为两端铰接简支梁，CD简化为左端点铰接的悬臂梁。在计算柔性梁的等效刚度时，采用分段刚化来求解。处理的方式为：把梁分段并把每段按受力与变形等效的原则变成表中形式的梁（称为原梁的等效梁），然后查表按叠加法计算梁的位移[6]。

①CD段刚化。

梁的受力变形示意图6为：

②BC段刚化。

梁的受力变形示意图7为：

因为机构可作为刚性模型与柔性模型的串联，结合式（11）、式（16），知微进给机构的等效垂向刚度为：

2  软件验证

利用多物理场有限元分析软件Comsol对该机构进行仿真分析。为了得出不同参数下的软件分析结果，对参数l3进行参数化扫描，将软件分析结果及理论计算结果进行对比验证，得到的拟合结果如表2所示。可以看出，理论误差与分析误差在10%内。因此用这种方法对于该微进给机构的垂向刚度的理论建模是可行的。

参考文献：

[1]吴丹，谢晓丹，等.快速刀具伺服机构研究进展[J].中国机械工程，2008，19（11）：1379-1385.

[2]Qiang Liu，Xiaoqin Zhou，Pengzi Xu，et al. A flexure-based long-stroke fast tool servo for diamond Turning[J]. International Journal of Aavanced Manufacturing Technology，2012， 59（9-12）：859-867.

[3]Zhijun Yang，Weibo Zhou，etc.Modeling and Optimal Design of Membrane Based Fast-Tool-Servo for Freeform Manufacturing of Micro Optical Lens Array[J].Key Engineering Materials.2013，522：411-414.

[4]PAROS J M ， WEISBORD L. How to design flexure hinges [M]. Machine Design ，1965：37（27）：151-159.

[5]曾祥延.分段刚化法计算变截面梁的变形[J].武汉水利电力大学学报，1994：27（4）：405-410.

[6]刘鸿文.材料力学[M].高等教育出版社，2004：188-189.