具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化设计

郭名璧

0  引言

拓扑优化技术使得材料在设计域内合理分布，可以获得具有特殊性能的优化构型，已广泛应用于各种领域。材料的宏观性能往往依赖于其微观结构，因此利用拓扑优化技术对微观结构构型进行优化设计，已经成为近年来研究的热点[1]。针对微结构拓扑优化设计，国内外学者进行了大量研究，取得了显著成果。Sigmund[2]等提出了材料微结构拓扑优化设计理论，并设计出了具有特定性能的微结构构型，极大地促进了拓扑优化设计理论的发展。Vemagant等[3]以材料用量为优化目标，将问题转化为单约束拓扑优化，实现了特定弹性性能的材料设计。张卫红等[4]利用基于应变能的能量法对材料微结构的等效弹性性能进行了预测。相对于单材料结构，多相材料微结构可以充分挖掘材料的潜力，发挥各相材料的优势性能，已成为结构优化设计领域的热点研究问题。Gibiansky等[5]实现了多相复合材料微结构拓扑优化设计，使其具有极端体积模量。Sigmund[6]利用三相材料实现了具有负热膨胀系数的微结构拓扑优化设计。刘书田等[7]利用多相复合材料进行了具有零泊松比的微结构拓扑优化设计。

基于以上分析，本文以结构等效弹性性能为优化目标，以材料的体积比为约束条件，结合能量均匀化方法和序列插值法，建立多相材料微结构拓扑优化模型，采用优化准则法求解该模型，实现了具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化设计。

1  多相材料微结构拓扑优化设计

1.1 基于均匀化理论的微结构弹性表达

周期性复合材料的等效弹性张量可以表示为[2]：

（1）

式中，为材料弹性张量，为单元应变场，为局部变化应变场。

基于单元应变能，式（1）可以写为[2]：

（2）

在有限元分析中，式（2）可以写为：

（3）

式中，为单元位移场，为单元刚度矩阵。

由文献[6]可知，材料微结构的等效弹性系数矩阵为：

（4）

1.2 多相材料微结构拓扑优化模型的建立

为了实现多相材料拓扑优化设计，把各相材料的密度按大小排列，并将密度变量在[0，1]上进行归一化处理，此时密度变量为：

（5）

式中，xmax为所有密度中的最大值，M为材料的相数。

基于序列插值法的多相材料插值模型可表示为[8]：

（6）

式中，p为惩罚因子，？准E和φE分别为引入的缩放系数和转换系数，可表示为：

（7）

（8）

式中，Ei和Ei+1分別为升序排列的材料相中第i和i+1种材料对应的弹性模量，且。

基于以上分析，多相材料微结构拓扑优化数学模型为：

（9）

式中，xe为设计变量，U为整体位移向量，K为整体刚度矩阵，F为外载荷向量，V为材料体积，V0为设计域体积，f为材料体积比，xmin为0.001，来避免求解过程中矩阵出现奇异。

2  数值算例与分析

根据上述建立的拓扑优化模型，结合有限元分析，采用优化准则法即可对其进行求解。选取两种材料A和B，泊松比均为0.3，材料总的体积比为0.4，设计域离散为100×100个单元，在初始条件下，得到了微结构最优拓扑构型，具体结果如表1所示（表中蓝色表示材料A，红色表示材料B）。

从优化结果可以得出：实现了具有极限弹性性能的多相材料拓扑优化设计，得到的微结构各相材料分布均匀，边界清晰，多材料微结构构型在设计域内对称分布。当目标函数为时，两种材料呈现沿45°方向布局，以承载外部的剪切载荷，充分发挥了各相材料的优势性能，挖掘了其潜力。当目标函数为时，材料呈现沿竖直方向和水平方向均匀布局，最大程度地同时承载竖直方向和水平方向的载荷，使得结构双向抗拉模量之和最大，充分考虑了各相材料的性能，使整体性能为最优，达到了具有特定性能的多相材料微结构拓扑优化设计。

3  结论

本文基于序列插值法的多相材料插值模型，以材料微结构的等效弹性矩阵的某项或其组合为优化目标，以材料体积和力学性能为约束条件，结合能量均匀化方法，建立了多材料拓扑优化数学模型，利用优化算法对其进行求解，得到了相应的微结构拓扑构型，使得各相材料在设计域内均匀分布，实现了具有极限弹性性能的多相材料微结构拓扑优化设计。

参考文献：

[1]王凤稳.复合材料等效性能计算及优化设计[D].西北工业大学，2007：15-16.

[2]Sigmund O. Materials with prescribed constitutive parameters： An inverse homogenization problem[J]. International Journal of Solids & Structures，1994，31（17）：2313-2329.

[3]Vemaganti K，Rakshit A，Nuggehally M.Design of materials with prescribed properties using topology optimization[J].Internarional Journal of solid and Structures，2001，38（40）：81-96.

[4]Zhang Weihong， WangFengwen， Dai Gaoming， et al. Topology Optimal Design of Material Microstructures Using Strain Energy-based Method[J].Chinese Journal of Aeronautics，2007，20（4）：320-326.

[5]Gibiansky LV， Sigmund O. Multiphase composites with extremal bulk modulus[J]. Journal of the Mechanics & Physics of Solids，2000，48（3）：461-498.

[6]Sigmund O， Torquato S. Design of materials with extreme thermal expansion using a three-phase topology optimization method[J]. Journal of the Mechanics & Physics of Solids，1997，45（6）：1037-1067.

[7]刘书田，郑新广，程耿东.特定弹性性能材料的细观结构设计优化[J].复合材料学报，2001，18（2）：125-128.

[8]Zuo Wenjie，Saitou K. Multi-material topology optimization using ordered SIMP interpolation[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2016：1-15.