一道教材习题的结论及其应用

刘才华

摘 要：本文给出了函数图象的对称性与函数的奇偶性间的相关关系及其应用.

关键词：函数图象;对称性;奇偶性

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）10-0019-02

收稿日期：2020-01-05

作者简介：刘才华（1969.10-），男，山东省泰安宁阳人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

题目 我们知道，函数y=f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x）为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x+a）-b为奇函数.

（1）求函数f（x）=x3-3x2图象的对称中心;

（2）类比上述推广结论，写出“函数y=f（x）的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f（x）为偶函数”的一个推广结论.

这是最新普通高中教科书数学必修第一册第87页的一道拓广探索题目，题目结论给出了如何判断一个函数图象成中心对称或轴对称的一个有效的判定方法.

众所周知，奇函数图象的对称中心为原点，若y=f（x）的图象对称中心为点P（a，b），可以通过将y=f（x）的图象向左（或右）平移变换和向上（或下）平移变换，将其对称中心平移到原点处，得到一个奇函数的图象;同样地，若y=g（x）的图象的对称中心为原点，可以通过将y=g（x）的图象向左（或右）平移变换和向上（或下）平移变换，将其对称中心平移到P（a，b）处，得到一个关于P（a，b）成中心对称的函数的图象.于是我们得到如下

命题1 函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x+a）-b为奇函数.

例1 （2018年全国新课标Ⅲ文科试题）已知函数f（x）=ln（1+x2-x）+1，f（a）=4，则f（-a）=

.

解 设g（x）=f（x）-1=ln（1+x2-x），则g（x）+g（-x）=ln（1+x2）-x2=0，从而g（x）为奇函数.由命题1得f（x）的图象关于P（0，1）对称，所以f（a）+f（-a）=2.

例2 （2012年全国新课标文科试题）设函数f（x）=（x+1）2+sinxx2+1的最大值为M，最小值为m，则M+m

.

解 设g（x）=f（x）-1=（x+1）2+sinxx2+1-1=2x+sinxx2+1，则g（x）为奇函数.由命题1得f（x）的图象关于P（0，1）对称，所以M+m=2.

例3 （2017年全国新课标Ⅲ文科试题）函数y=1+x+sinxx2的部分图象大致为（  ）.

解 设 f（x）=1+x+sinxx2，g（x）=f（x）-1=x+sinxx2，则g（x）为奇函数.由命题1得f（x）的图象关于P（0，1）对称，排除选择支（B），（C）.当x取非常小的正角时，f（x）>0，排除选择支（A）.故选择答案：（D）.

例4 （2008年高考重庆理科试题）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（  ）.

A.f（x）为奇函数    B.f（x）为偶函数

C.f（x）+1为奇函数D.f（x）+1为偶函数

解 令x1=x2=0，代入f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1得f（0）=-1.令x1=x，x2=-x，代入f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1得f（x）+f（-x）=f（0）-1=-2.所以f（x）的图象关于点P（0，-1）对称，则f（x）+1为奇函数，选择答案：C.

我们知道，偶函数图象的对称轴为y轴，若y=f（x）的图象关于直线x=a对称，可以通过将y=f（x）的图象向左（或右）平移变换，将其对称轴平移到和y轴重合，得到一个偶函数的图象;同样地，若y=g（x）的图象的对称轴为y轴，可以通过将y=g（x）的图象向左（或右）平移变换，将其对称轴平移到和直线x=a重合，得到一个关于直线x=a成轴对称的函数的图象.于是我们得到如下

命题2 函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称的充要条件是函数y=f（x+a）为偶函数.

例5 （2017年全国新课标Ⅰ文科试题）已知函数fx=lnx+ln2-x，则（  ）.

A.fx在0，2单调递增

B.fx在0，2单调递减

C.y=fx的图象关于直线x=1对称

D.y=fx的图象关于点1，0对称

解 由f（x）=lnx+ln（2-x）得f（x）=lnx（2-x）.由于y=-x2+2x（0     设g（x）=f（x+1）=ln（x+1）+ln（1-x）.由g（x）=g（-x）得g（x）为偶函数，所以由命题2得y=fx的图象关于直线x=1对称，选择答案：C.

例6 （2017年新课标Ⅲ理科试题）已知函数f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）有唯一零点，则a=（  ）.

A.-12  B.13  C.12  D.1

解 由f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1），设g（x）=f（x+1）=x2+a（ex+e-x）-1.由g（x）为偶函数及命题2得f（x）的图象关于x=1对称.由于函数f（x）有唯一零点，所以f（1）=2a-1=0，则a=12.

选择答案：C.

例7 （2007年重庆理科试题）已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+8）为偶函数，则（  ）.

A.f（6）>f（7）   B.f（6）>f（9）

C.f（7）>f（9） D.f（7）>f（10）

解 因為y=f（x+8）为偶函数，所以由命题2得f（x）的图象关于x=8对称，于是f（7）=f（9）.因为f（x）在（8，+∞）上为减函数，所以f（9）>f（10），即f（7）>f（10），故选择答案：D.

例8 （2007年北京文科试题）对于函数①y=log2（x+4+2）（x>0），②f（x）=（x-2）2，③f（x）=cos（x-2），判断如下两个命题的真假：

命题甲：f（x+2）是偶函数;

命题乙：y=4x-2x+2（x>1）在（-∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数;

能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（  ）.

A.①② B.①③ C.② D.③

解 因为f（x+2）为偶函数，所以由命题2得f（x）的图象关于x=2对称，①不正确，排除选择支A、B.由于f（x）=（x-2）2满足命题乙，故选择答案：C.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中教科书·数学·必修第一册（2019版）M.北京：人民教育出版社，2019：87.

[责任编辑：李 璟]