赏析如出一辙的六道高考导函数题

摘 要：历届高考数学试题凝聚着众多命题专家的心血和智慧，历届高考数学试题给我们指出了复习备考之道，所以深入研究历届高考数学试题是高效科学复习备考的不二之法.本文赏析如出一辙的六道高考导函数题，旨在抛砖引玉，对大家有所启示和帮助;旨在温馨提醒高考复习备考考生走出题海，走进历届高考数学试题，实现高效复习，提升复习效益;旨在提议同仁沉下心来加强历届高考数学试题的研究，实现有效的备考策略，进而内化自身教学理念与数学综合素养的提升.

关键词：高考题;如出一辙;导函数;赏析

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）10-0004-04

收稿日期：2020-01-05

作者简介：武增明（1965.5-），男，云南省玉溪市易门人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

试题1 （2010年高考天津卷理科数学第21题）已知函数f（x）=xe-x（a∈R）.

（1）求函数f（x）的单调区间和极值;

（2）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明：当x>1时，f（x）>g（x）;

（3）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2>2.

试题2 （2011年高考辽宁卷理科数学第21题）已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）设a>0，证明：

（3）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f ′（x0）<0.

时隔仅一年，试题2竟然与试题1如出一辙.

试题3 （2013年高考湖南卷文科数学第21题）已知函数f（x）=1-x1+x2ex.

（1）求函数f（x）的单调区间;

（2）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2<0.

时隔仅三年，试题3竟然与试题1如出一辙.

试题4 （2016年高考全国卷Ⅰ理科数学第21题）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.

（1）求a的取值范围;

（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2<2.

时隔仅三年，试题4竟然与试题3如出一辙.

试题5 （2018年高考全国卷Ⅰ理科数学第21题）已知函数f（x）=1x-x+alnx.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：f（x1）-f（x2）x1-x2

试题6 （2018年高考浙江卷文科数学理科数学第22题）已知函数f（x）=x-lnx.

（1）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）>8-8ln2;

（2）若a≤3-4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点.

时隔七年，试题5、试题6竟然与试题2如出一辙.

试题1赏析 （1）f ′（x）=（1-x）e-x.

当x变化时，f ′（x），f（x）的变化情况如下表：

-

（3）证明 ①若（x1-1）（x2-1）=0，

由（1）及f（x1）=f（x2），得x1=x2=1，与x1≠x2矛盾.

②若（x1-1）（x2-1）>0，由（1）及f（x1）=f（x2），得x1=x2，与x1≠x2矛盾.

根据①，②，得（x1-1）（x2-1）<0，不妨设x1<1，x2>1，由（2）可知，f（x2）>g（x2），g（x2）=f（2-x2），所以f（x2）>f（2-x2），从而f（x1）>f（2-x2）.

因为x2>1，所以2-x2<1.

又由（1）可知函数f（x）在区间（-∞，1）内是增函数，所以x1>2-x2，即x1+x2>2.

试题2赏析 （1）f（x）的定义域为（0，+∞），f ′（x）=1x-2ax+（2-a）=-（2x+1）（ax-1）x .

-

（3）由（1）可得，当a≤0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，故a>0，从而f（x）的最大值为f（1a），且f（1a）>0.

（2）解略.

上述试题1、试题3、试题4的最后一问的证明方法都是使用函数的单调性定义来证明，试题2和试题5的第（2）问与试题6的第（1）问的证明方法都是寻找待证不等式的等价不等式，然后通过求导或构造函数求导，证明等价不等式.与上述试题1、试题2、试题3、试题4、试题5、试题6如出一辙的还有以下试题7，读者不妨自己试一试.

試题7 （2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛题）已知f（x）=ex-mx.

（1）若x>0时，不等式（x-2）f（x）+mx2+2>0恒成立，求实数m的取值范围;

（2）若x1，x2为函数f（x）的两个零点，证明：x1+x2>2.

参考文献：

＼[1＼]天利高考命题研究中心.2010高考真题（数学·理科）＼[M＼].拉萨：西藏人民出版社，2010.

＼[2＼]天利全国高考命题研究中心，北京天利考试信息网.2011全国各省市高考试题汇编全解（数学·理科）＼[M＼].拉萨：西藏人民出版社，2011.

＼[3＼]刘增利.2013年全国各省市高考真题汇编及解析（数学·文科）＼[M＼].西安：开明出版社，2013.

＼[4＼]曲一线.2016年高考真题详解（数学·理科）＼[M＼].北京：首都师范大学出版社，2016.

＼[5＼]杜志建. 2018年全国各省市高考试题汇编（数学·理科）＼[M＼].乌鲁木齐：新疆青少年出版社，2018.

[责任编辑：李 璟]