一道折叠中轨迹问题的两种解法

摘 要：高中数学中，折叠时动点轨迹问题在求解上有较大难度.应充分选用必要的几何知识，尤其要紧扣空间几何中旋转时不变的位置关系，包括线段，角的定值及平面图形的旋转等作为依据去求解，同时也可选用解析法在坐标系下，运用求动点的轨迹方程得出轨迹去判断位置关系，也是处理该类问题的有效途径之一.

关键词：折叠;轨迹;两种解法

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）10-0031-02

收稿日期：2020-01-05

作者简介：史云峰（1967.8-），男，甘肃省天水人，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

案例1 如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，现将△ADE沿直线DE翻转成△PDE.若M为线段PC的中点，则在△ADE翻转过程中：M点的轨迹是什么？

分析 在将三角形PDE折起的过程中，它的两边PE，DE的大小不变为定值，取EC中点为G，MG与PE平行，BG与DE平行，应用等角定理及不变的平行线段长度，可得∠BGM=3π4为定值，在此折叠中相当于将△PDE沿着BG所在的直线为轴转动时M画出的轨迹问题，故应为圆弧，其半径是M到BG的距离，并且轨迹在直线BG的过M点的一个垂面内的半圆.

解法一 （立体几何法）连接CE，取CE中点为G，连接MG，BG，则MG∥PE，BG∥DE，∴平面MBG∥平面DEP，∴MB∥平面DPE.

可得∠MGB=π-∠DEP=3π4，

MG=12PE=1，BG=12DE=2.

由余弦定理可得MB2=MG2+GB2-2MG ·BG·cos∠MGB，所以|MB|=5是定值.

又点P在运动时，等于把△BMG绕BG边为轴旋转半周，则M点画出的轨迹为半圆，BM为圆锥的母线，圆锥底面半径R=22MG=22为定值，CP中点M在半圆上运动.∴M是在以B为顶点、以BM为母线的圆锥底面圆周上运动.

说明：（1）翻折中动点A在一个面上移动，M点也在一个面上移动.

（2）如果没有旋转意识，则不易看出定值及完成计算.

分析 可将此立体几何问题选用解析法来处理，以折痕DE所在线为x轴，DE的中垂面为y轴z轴建系，在此折叠过程中，P点始终在x轴的垂面内转动，并画出了半圆，那么PC的中点M也是在x轴的垂面内转动，画出了半圆弧，从而可设M（x，y，z），求出其参数方程，得出M的轨迹.

解法二 （解析法）以DE所在直线为x轴，中垂线为y轴z轴建系，则A（0，2，0），B（-22，-2，0），C（-2，-22，0）.

设∠AOP=θ，θ∈（0，π），P（0，2cosθ，2sinθ），取PC中点为M，坐标M（-22，2cosθ-222，2sinθ2）即x=-22，y=2cosθ-222，z=2sinθ2.在x轴的一个垂面内，有 2y+222+2z2=2，即y+22+z2=12， 故M的轨迹是以F为圆心，R为半径的半圆，其中：F（-22，-2，0），R=22.由于BF⊥面yOz，故BM为一圆锥的母线，其长BM=BF2+222=5（定值）.

案例2 如图在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=π2，以AC为折痕将△ACM折起到△ACD位置，AB的中点为F，BD的中点为N，则F到点N的轨迹所在平面的距离是多少？（2019全国1卷18）

分析 在△BCD中，取BC中点为E，NE为CD的一半是定值，故点N的轨迹是以E为圆心，R=32的半圆.

以MC所在直线为x轴，C为原点，垂线为y轴，z轴建系，设∠xCD=θ，D（3cosθ，0，3sinθ），B（3，-3，0），N（3cosθ+32，-32，3sinθ2）.在y轴的一个垂面内，有x=3cosθ2，y=-32，z=3sinθ2，（2x-3）2+（2z）2=9，即x-322+z2=322.故轨迹是以E32，-32，0为圆心的半圆.

EF垂直该圆面，故F到轨迹所在平面的距离是32.

总之几何问题代数化，折叠问题解析化，能有效建立章节间的横向联系，使知识有效整合，增强了对数学整体认识，使学生对所学知识有较好的应用，对问题有较强的分析能力，从而提高了数学空间想象能力和运算能力，加强了对數学核心素养的培养.

参考文献：

[1]史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读＼[M＼].北京：高等教育出版社，2018.

[2]任子朝.高考数学能力考查与题型设计＼[M＼].北京：高等教育出版社，1998.

[责任编辑：李 璟]