比根号2更“无理”的数

不是代数数的实数统统被称为“超越数”（tran-scendentM number），它不满足于任何一个整系数多项式方程。超越数无疑是更“无理”的数，但是否存在这样的数？这个问题在数学史上早有争论。1844年，法国数学家柳维尔（Joseph Liouville）构造了第一个超越数——柳维尔数（Liouville number）。这个数是0.110001000000000000000001…，其中小数点后面第1，2，6，24，120，…位是1，其余位都是0.柳维尔证明了这个数是一个超越数，它不满足于任何整系数多项式方程。

1873年，法国数学家夏尔·埃尔米特（Charles Her。mite）证明了自然底数e是一个超越数。1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand yon Lindemann）证明了圆周率π是一个超越数。

但是，人们对超越数的了解还是太少。数学家们

胛至今仍然不知道，π+e、π-e、π·e、π/e是否也是超越数。虽然如此，大家还是普遍相信它们都是超越数，毕竟它们不大可能恰好满足一个各项系数都是整数的多项式方程。

可计算数与不可计算数

我们把圆周率的小数展开，看上去似乎是完全随机的，但还是有办法算出来的。如果你想知道1T的小数点后第一亿位是多少，我们总能在有限的时间里算出答案来。

1975年，计算機科学家格里高里·蔡廷（GregoryChaitin）研究了一个很有趣的问题：在任意指定的一种编程语言中，随机输入一段代码，这段代码能成功运行并且会在有限时间里终止（不会无限运行下去）的概率是多大。他把这个概率值命名为“蔡廷常数”（Chaitin's constant）。

这个问题听起来有点不可思议，但事实上确实如此——蔡廷常数是一个不可计算数（uncomputablenumber）。也就是说，虽然蔡廷常数是一个确定的数字，但现已在理论上证明了，你是永远无法求出它来的。

可定义数与不可定义数

尽管蔡廷常数算不出来，不过我们却知道蔡廷常数是什么。它有一个明确的定义。但是，并不是所有的数都能够用有限的文字描述出来。原因很简单，因为长度有限的文字段落是可以逐一枚举的（虽然有无穷多），而全体实数是不能枚举的，因此，总存在一些不可能用语言描述出来的数。这种数就叫做不可定义数（undefinable number）。

自然数也好，有理数也好，根号2也好，圆周率也好，蔡廷常数也好，它们都有明确的定义，都属于可定义数的范畴。事实上，整个人类历史上所有文献提到过的所有实数都是可定义的，因为它们都已经被我们描述出来了。但是，由于可定义数与全体实数的数量根本不在一个级别上，不可定义的数远远多于可定义的数。

那么，谁发现了第一个不可定义数呢？答案是，从没有人发现过不可定义的数，以后也不会有人找到不可定义的数。因为不可定义数是无法用语言描述的，我们只能用非构造的方式证明不可定义数的存在性，但却永远没法找出一个具体的例子来。

虽然有那么多数是没有办法描述的，但数学家们也不会损失什么。因为每一个值得研究的数，一定都有着优雅漂亮的性质，这些性质就已经让它成为了能够被定义出来的数。