函数概念的发展简史

刘佳华

一、函数概念的萌芽时期

函数思想是随着人们开始运用数学知识研究事物的运动变化情况而出现的，16世纪，由于实践的需要，自然科学界开始转向对运动的量进行研究，各种变化着的物理量之间的关系也就成为数学家们关注的对象。

17世纪意大利数学家、科学家伽利略（Galileo，1564-16421是最早研究这方面的科学家，伽俐略在《两门新科学》一书中多处使用比例关系和文字表述了量与量之间的依赖关系，例如，从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比，这实际上就运用了函数思想，与此同时，英国著名的物理学家、数学家、天文学家牛顿（Newton，1642-1727）在对微积分的讨论中，使用了“流量”一词来表示变量间的关系，1673年，法国数学家笛卡尔（Descartes，1596-1650）在研究曲线问题时，发现了量的变化及量与量之间的依赖关系，引进了变量思想，并在他的《几何学》一书中指出：所谓变量是指“不知的和未定的量”，这成为数学发展的里程碑，也为函数概念的产生奠定了基础。

直到17世纪后期，在德国数学家莱布尼兹（Leib-niz，1646-1716）、牛顿建立微积分学时，还没有人明确函数的一般意义，大部分的函数是被当作研究曲线的工具，最早把“函数”（function）一词用作数学术语的是莱布尼兹，当时，莱布尼兹用“函数”（function）一词表示幂，后来又用函数表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量，例如曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等，从这个定义，我们可以看出，莱布尼兹利用几何概念，在几何的范围内揭示了某些量之间的依存关系。

二、函数概念的初步形成

18世纪微积分的发展促进了函数概念“解析定义”的发展，瑞士著名数学家约翰·贝努利（Bernoulli Jo-hann，1667-1748）在研究积分计算问题时提出，积分工作的目的是在给定变量的微分中，找出变量本身之间的关系，而要用莱布尼兹定义的函数表示出变量本身之间的关系是很困难的，于是，1718年贝努利从解析的角度，把函数定义为：变量的函数就是由某个变量及任意一个常数结合而成的量，其意思是凡变量x和常量构成的式子都叫作x的函数，并且贝努利强调，函数要用公式来表示才行。

18世纪，瑞士数学家欧拉在他的《无穷小分析引论》中进一步推广了约翰·贝努利的定义：一个变量的函数是由变量和一些数或常量以任何一种方式构造的解析式，并且早在1734年欧拉就已经用f（x）表示函数，这个函数符号至今仍在沿用，1755年，欧拉又在他的《微积分原理》的序言中把函数定义为：如果某些变量以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数，欧拉的这个定义，已经不强调函数要用公式来表示了，他曾把画在坐标系上的曲线也叫函数，他认为：“函数是随意画出的一条曲线，”欧拉用“解析表达式”代替了约翰的“任意形式”，明确地表达了变量之间相互依赖的变化关系，显然，此时数学家们对函数概念的认识前进了一大步，但是，当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有些数学家甚至抱着怀疑的态度，因此他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”。

三、函数概念的确立

1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学教材中的函数定义：在某些变数间存在着一定的关系，给定其中某一变数的值，其它变数的值也可以随之确定时，则将最初的变数叫作自变量，其它各变数叫作函数，柯西在函数定义中引入了“自变量”一词，显然，这个函数定义比以往的定义要广泛的多。

1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基（Lobachevskv，1792-1856）给出了函数的新定义：x的函数是这样一个数，它对于每一个x都有确定的值并且随着x一起变化，他认为，“函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的，”这个定义指出了对应关系的必要性，利用这个关系，我们可以求出每一个的对应值。

后来，德国数学家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859）也注意到，函数不是“自变”所引起的因变，应该是变量之间的“对应”关系，他拓宽了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数，”这个定义不再注重描述函数中的依赖关系，而是通过x与y之间的关系来确定函数自变量与变量之间关系，人们可以借助这个表述清晰地掌握函数的定义，所以它被所有数学家接受，成为传统函数定义的原型。

四、函数概念的再次发展

19世纪末20世紀初，把函数看作一种对应或者映射的思想已经成形，如果说前两个世纪的人们把注意力更多地投放在函数的解析式上，那么20世纪的数学家开始关注自变量的取值范围，这不仅仅是因为实际问题给数学提出了新的课题，更主要的是德国数学家康托尔（cantor，1845-1918）开创了一个全新的数学分支——集合论，集合论的思想与方法很快就渗透到了数学的各个领域。

之后，美国数学家维布伦（veblen，1880-1960）用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的限制，他认为变量可以是数，也可以是其它对象，1914年豪斯道夫（F，Hausdorff）在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，避开了意义不明确的“变量”“对应”概念，波兰数学家库拉托夫斯基（Kuratowski，1896-1980）于1921年用集合概念来定义“序偶”，使豪斯道夫的定义更严谨了，用集合的语言重新叙述函数的定义，成了进一步严格函数概念的最好途径，1930年新的现代函数被定义为：在变量的集合与另一个变量的集合之间，如果存在着对于x的每一个值，有确定的值y与之对应这样的关系，那么，变量y就叫作变量x的函数，这个函数概念就是现在高中课本所采用的了。

“函数”一词是转译词，是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成“函数”的。

后来，数学家们在此基础上将函数定义细分，给出了更多的函数定义，如单射函数、满射函数、双射函数，

单射函数：将不同的变量映射到不同的值，即若x和y属于定义域，则仅当x不等于y时有f（x）不等于f（y）。

满射函数：其值域即为其对映域，即对映射厂的对映域中之任意y，都存在至少一个x满足f（x）=y。

双射函数：既是单射的又是满射的，也叫一一对应函数，双射函数经常被用于表明集合x和y是等势的，即有一样的基数，如果在两个集合之间可以建立一个一一对应，则说这两个集合等势。

我们从函数概念的演变历史可以看出，函数概念是人们在对客观世界深入了解的过程中得到的，当然，现在我们能得到比较完善、严密的函数概念，主要归功于历代数学家们的精心研究以及为此付出的努力。