以静制动 突破运动的圆

许生友

在平面直角坐標系中，常常会遇到与圆有关的动态题目，解决这类问题需要把圆的有关性质与点的坐标相结合，综合利用直线与坐标轴的交点、圆的性质以及三角形、四边形等有关知识，“以静制动”达到解题目的. 现分类介绍如下.

一、确定最大值

例1（2019·湖北·鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切. 点A，B在x轴上，且OA = OB，点P为⊙C上的动点，∠APB = 90°，则AB长度的最大值为 .

解析：如图2，连接OC并延长，交⊙C于点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A，B，此时AB的长度最大.

∵C（3，4），∴OC = [32+42] = 5.

∵以点C为圆心的圆与y轴相切，∴⊙C的半径为3，∴OP = 8.

∵∠APB = 90°，∴AB是直径，∴AB长度的最大值为16. 故填16.

点评：找到OP的最大值是解题的关键.

二、求点的坐标

例2（2019·山东·菏泽）如图3，直线y = [-34]x - 3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是 .

解析：∵直线y = [-34]x - 3交x轴于点A，交y轴于点B，

∴令x = 0，得y = -3，令y = 0，得x = -4，

∴A（-4，0），B（0，-3），∴OA = 4，OB = 3，∴AB = 5.

如图4，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD = 1.

∵∠ADP = ∠AOB = 90°，∠PAD = ∠BAO，

∴△APD ∽△ABO，∴[PDOB=APAB]，∴[13=AP5]，∴AP = [53].

∵OA = 4，∴OP = [73]或OP = [173]，

∴P [-73  0]或[-173  0].

故填[-73  0]或[-173  0].

点评：本题在求AP的长度时，要注意点P的位置可能在点A的右侧，也可能在点A的左侧，故点P的坐标有两种可能.

三、推理证明

例3 已知，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t（t>0）秒.

（1）若点E在y轴的负半轴上（如图5所示），求证：PE = PF.

（2）在点F的运动过程中，设OE = a，OF = b，试用含a的代数式表示b.

解析：由于M，N都是切点，若连接PM，PN，要证明PE = PF，只需证明△PMF ≌△PNE;在点F的运动过程中，当t = 1时，点E与原点O重合;当t>1时，点E在y轴的负半轴上;当0< t < 1时，点E在y轴的正半轴上，再根据（1）问求解.

（1）证明：如图6，连接PM，PN.

∵⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N，

∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM = PN = 1.

∴∠PMF = ∠PNE = 90°.

∵∠NOM = 90°，PE⊥PF，∴∠NPM = ∠EPF = 90°.

∴∠NPE = ∠MPF = 90° - ∠EPM. ∴△PMF ≌△PNE（ASA）.

∴PE = PF.

（2）解：分三种情况讨论：

①当t>1时，点E在y轴的负半轴上，如图6所示，

由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE = MF = 1 + a，

∵OF = OM + MF，∴b = 1 + （1 + a） = 2 + a;

②当t = 1时，得MF = 1，△PMF是等腰直角三角形，如图7所示，

∵PE⊥PF，∴∠EPM = ∠EPF - ∠MPF = 45°，

∴点E与原点O重合，∴a = 0，b = 2;

③当0< t < 1时，点E在y轴的正半轴上，如图8，

∵△PMF≌△PNE，∴MF = NE = 1 - a，

∴OF = OM + MF，∴b = 1 + （1 - a） = 2 - a.

综上，b = [2-a  2    2+a.]

点评：本题第（2）问需分三种情况进行讨论，注意不要漏解.