活用类比猜想 巧解折叠探究

李培华

与特殊四边形有关的折叠问题是中考的热点，中考数学倒数第二题中屡屡能见到此类问题的身影. 此类问题变化多、综合性强，因此难度较大. 下面举例介绍如何活用类比猜想来解决此类问题.

例（2019·湖北·襄阳）（1）证明推断：如图1①，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE.

①求证：DQ = AE;

②推断：的值为 .

（2）类比探究：如图1②，在矩形ABCD中， = k（k为常数）. 将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O. 试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由.

（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k = 时，若tan∠CGP = ，GF = 2，求CP的长.

分析：（1）①由正方形的性质易得∠QAO = ∠ADO，进而有△ABE≌△DAQ，可得DQ = AE;②证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题. （2）结论： = k. 如图2，作GM⊥AB于M，证明△ABE∽△GMF即可解决问题. （3）如图3，作PM⊥BC交BC的延长线于M. 利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题.

解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴DA = AB，∠DAQ = 90° = ∠ABE. ∴∠QAO + ∠OAD = 90°.

∵AE⊥DQ，∴∠ADO + ∠OAD = 90°. ∴∠ADO = ∠QAO.

∴△DAQ≌△ABE（ASA），∴DQ = AE.

②結论： = 1. 理由：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，∴DQ∥FG，

∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平行四边形，∴FG = DQ，

∵AE = DQ，∴FG = AE，∴ = 1.

（2）结论： = k. 理由：如图2，作GM⊥AB于M.

∵AE⊥GF，∴∠AOF = ∠GMF = ∠ABE = 90°，

∴∠BAE + ∠AFO = 90°，∠AFO + ∠FGM = 90°，

∴∠BAE = ∠FGM，

∴△ABE∽△GMF，∴ = ，

∵∠AMG = ∠D = ∠DAM = 90°，

∴四边形AMGD是矩形，∴GM = AD，

∴ =  =  = k.

（3）如图3，作PM⊥BC交BC的延长线于M.

∵FB∥GC，FE∥GP，∴∠CGP = ∠BFE，

∴tan∠BFE = tan∠CGP =  = ，

∴设BE = 3k，BF = 4k，则EF = AF = 5k，AB = AF + BF = 9k，

∵ = ，FG = 2，∴AE = 3，

∴（3k）2 + （9k）2 = （3）2，

∴k = 1或-1（舍弃），∴BE = 3，AB = 9，

∵ = ，∴BC = 6，

∴BE = CE = 3，AD = PE = BC = 6，

∵∠FBE = ∠FEP = ∠PME = 90°，

∴∠FEB + ∠PEM = 90°，∠PEM + ∠EPM = 90°，

∴∠FEB = ∠EPM，∴△FBE∽△EMP，∴ =  = ，

∴ =  = ，∴EM = ，PM = ，

∴CM = EM - EC =  - 3 = ，∴PC =  = .

点评：解决（2）（3）问的关键是类比其与第（1）问的相似之处，迁移第（1）问的思路进行合理猜想.