令人左右为难的悖论

林革

塞万提斯（1547—1616）是西班牙文艺复兴时期最杰出的现实主义小说家. 他的代表作《堂吉诃德》是闻名遐迩的世界文学名著，在全球范围影响深远.

小说中叙述了一个有趣的故事，堂吉诃德的仆人桑乔·潘萨成了一个岛的国王，不知是随心所欲，还是心血来潮，他竟然颁布了一条奇怪的法律——每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题：“你到这里来做什么？”若说真话，就允许上岛游玩;若说假话，就要被绞死. 很明显，对于每一个有意无意来到岛上的人，都有可能被认为说假话而送上绞架，风险实在太大，因此一直没人敢贸然上岛. 一直到有个胆大包天的智者出现，才算彻底打破了这个局面.

当时，国王照例让手下向这位智者询问：“你到这里来做什么？”智者不假思索地回答：“我到这里来是要被绞死的！”桑乔·潘萨一听立刻愣住了，因为他发现自己陷入两难境地：如果认为他说的是真话，当然就是要绞死，可根据国王的法律说真话者应该上岛游玩而不是上绞架，前后产生矛盾;如果认为他说的是假话，根据法律就要上绞架，可一旦上了绞架，那他说的“要被绞死”就成了真话，他就应该上岛游玩而不是上绞架，前后又产生矛盾. 桑乔·潘萨这才发现国王一点儿也不好当，自己颁布的这条法律竟然完全无法执行. 他冥思苦想仍始终无法摆脱两难的境地，最后只能让手下释放了这位有备而来的智者，并且宣布这条有漏洞的法律作废.

这个故事的本质其实就是数学中的悖论，所谓悖论就是让人自相矛盾、左右为难的问题. 为了强化大家对悖论的印象，下面再介绍一个由著名数学家伯特兰·罗素（1872—1970）提出的悖论.

欧洲某国的一个偏僻的小城镇里，只有一个理发师，他对自己的手艺非常自负，渐渐地对自己的判断也自信起来. 于是他在店门上贴出公告：本人郑重承诺，只给那些不给自己理发的人理发，绝无例外. 没有谁对这则看似平常的公告提出疑问，直到聪明的汤姆来理发.

汤姆一到门口就被店门上的公告吸引住了，然后便哈哈大笑，弄得理发师“丈二和尚摸不着头脑”. 看到汤姆那头又脏又长的头发，理发师有点不屑一顾.

“小不点儿，如果是来理发，就待在那边静静地等，别高兴得那么早啊！”理发师话里带刺.

“我笑只不过是因为这店门上的公告有问题，看来您太过于自信了，或者可以说是有点儿笨. ”汤姆也是话中有话.

理发师一听这话就不乐意了：“公告有问题？”

“没错！”汤姆点点头.

“那好，只要你能说服我，我免费为你服务. 不过你要说不通，对不起，那就得破回例，让你自己给自己理发. ”理发师明显有点恼火.

“好啊！”胸有成竹的汤姆和理发师耳语了两句，理发师一下子就愣住了，琢磨了一会儿，便一言不发地为汤姆理发.

理发师沮丧地将汤姆送出店门，一把将公告扯下来撕个粉碎.

顧客们纷纷问其中的缘由，理发师面红耳赤地扭捏了半天才道出原委. 原来汤姆问理发师：“你的头由谁来理呢？”

这个问题一针见血点中漏洞：如果理发师不给自己理发，那他就是一个不给自己理发的人，根据承诺他就应该给自己理发;而如果理发师给自己理发，那他就是一个给自己理发的人，根据承诺他又不能给自己理发. 出现如此矛盾的情况，理发师不好处理自己的理发问题，所以只能自认倒霉喽！

众所周知，数学理论体系相当严密完备，并经得起推敲，而事实存在的悖论却几乎动摇了数学坚实的基础. 罗素的这个悖论就使集合理论产生了危机. 德国著名逻辑学家弗里兹在其所撰的集合基础理论著作《算术的基本法则》付印时，收到了罗素关于这一悖论的信. 他沮丧地发现，自己付出无数心血的工作有可能付诸东流. 尽管著作出版问世，可忧心忡忡的他在书尾这样写道：“一个科学家所碰到最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了. ”还有一位德国著名数学家戴德金也因此推迟了《什么是数的本质和作用》一书的再版. 可以说，悖论就像在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机.

令人欣慰的是，悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它. 而在解决悖论的过程中，各种数学理论应运而生，现代数学也得以更为蓬勃地发展. 可以毫不夸张地说，数学家对于悖论的研究，不仅大大开拓了数学空间，而且有力地推进了理论基础的研究，使数学更坚实地建立在牢固的基础之上. 就此而言，悖论可谓功不可没.

（作者单位：扬州职业大学）