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不变的“尾巴”

2020-09-10薛慧珠

初中生学习指导·提升版 2020年8期
关键词:乘积底数建国

薛慧珠

提起大名鼎鼎的“雷霆数”,大家应该不会陌生.比如:452 = 2025,把2025从中一分为二得到20和25,而20 + 25 = 45,又还原成平方数的底数;再比如:552 = 3025,把3025从中一分为二得到30和25,而30 + 25 = 55,仍还原成平方数的底数. 在此不一一枚举.

现在的问题是:计算[a52]有没有快捷的方法?回答是肯定的,先写25,然后用a × (a + 1),得到的积放在25之前,就是平方数的结果. 比如652,先写25,再计算6 × 7 = 42,结果就是4225;再比如852,先写25,再计算8 × 9 = 72,结果就是7225.

其中的数学原理是:[a52] = (a × 10 + 5)2 = a2 × 100 + 100a + 25 = (a2 + a) × 100 + 25 = a × (a + 1) × 100 + 25.

瞧出来了吗?速算的方法只不过是等式右边的通俗说法而已,挺别出心裁吧!如果你已经领会理解,那么请回答:[a25200]的末两位数字是什么?相信大多数人都会脱口而出“25”,事实的确如此,根据上面的结论简单递推就能断定.

[a252]可以看作[A52],不管前面的A如何变化,对末尾的25并无影响,即[A5][2]末两位数字是25;而[A5][200] = ([A5][2])100,类似的100次连续变化不会影响末两位数字,即[a25200]末两位数字仍是25. 而更一般的结论是:[a25] × [b25]的末两位数字是25.

数学原理是:[a25] × [b25] = (100a + 25)(100b + 25) = 10000ab + 2500a + 2500b + 625 = 10000ab + 2500a + 2500b + 600 + 25 =  (100ab + 25a + 25b + 6) × 100 + 25,乘积的末两位数字显然是25.

无独有偶,美国第一任总统华盛顿于1776年宣布建国,1976年是建国200周年. 某中学的宣传栏中出现了一道应时应景的趣题:1776200的最后两位数字是什么?学生汤姆看到脱口而出:“这简单,还是76!”

其他同学有些纳闷,问其究竟,汤姆笑着解释:762 = 5776,末两位数字仍是76,没有发生变化,这种数在数学上称为“自守数”,取自乘(平方)后还能保守着某些原本特征之意. 了解这个前提,就能判断[A762]末两位数字仍为76.

数学原理是:[A762]=(A × 100 + 76)2 = A2 × 10000 + 15200A + 762 = (A2 × 100 + 152A) × 100 + 5776 = (A2 × 100 + 152A + 57) × 100 + 76.

不难看出,[A76]平方数的末两位数字就是762的末两位数字,仍然是76. [A76][200]= ([A76]2)100,类似的100次连续变化显然不会影响最后的两位数,即[A76200]最后两位数字依旧是76,1776200当然也不例外. 而更一般的結论是:[a76] × [b76]的末两位数字是76. 数学解释并不复杂:[a76] × [b76] = (100a + 76)(100b + 76) = 10000ab + 7600a + 7600b + 5776 = 10000ab + 7600a + 7600b + 5700 + 76 = (100ab + 76a + 76b + 57) × 100 + 76,乘积的末两位数字显然是76.

怎么样?从25到25,从76到76,变化之中保持本色,是不是让你印象深刻?同学们对不变的“尾巴”中的数学缘由要做到心中有数哟!

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