两类有趣的新数

王广崇

数学大世界里有形形色色的数，它们已成为中考命题的新素材.下面就来介绍两类新数.

例1（2019·重庆）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出自然数的特征. 在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等. 现在我们来研究另一种特殊自然数——“纯数”.

定义：对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，

例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位;23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位.

（1）判断2019和2020是否是“纯数”，请说明理由;

（2）求出不大于100的“纯数”的個数.

分析：（1）根据题目中的新定义解答，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”;（2）不大于100的数分为一位数、两位数和三位数，可借助于不等式和列举法求解.

解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”.

理由如下：因为在计算2019+2020+2021时，个位产生了进位，而计算2020+2021+2022时，各数位都不产生进位，所以2019不是“纯数”，2020是“纯数”.

（2）由题意：不大于100的“纯数”包含一位数、两位数和三位数100.

①若n为一位数，则有n + （n + 1） + （n + 2）<10，解得n<[73]，所以小于10的“纯数”有0，1，2，共3个;

②两位数须满足：十位数可以是1，2，3，个位数可以是0，1，2，共有9个，分别是10，11，12，20，21，22，30，31，32.

③三位数为100，共1个.

所以不大于100的“纯数”共有13个.

例2（2019·湖北·随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为[mn]，易知[mn]=10m + n，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如[abc]=100a + 10b + c.

【基础训练】

（1）解方程填空：①若[2x]+[x3]=45，则x=______;②若[7y]-[y8]=26，则y=______;③若[t93]+[5t8]=[13t1]，则t=______.

【能力提升】

（2）交换任意一个两位数[mn]的个位数字与十位数字，可以得到一个新数[nm]，则[mn]+[nm]一定能被______整除，[mn]-[nm]一定能被______整除，[mn]·[nm] - mn一定能被______整除.（请从大于5的整数中选择合适的数填空）

【探索发现】

（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚，数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532-235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数” .①该“卡普雷卡尔黑洞数”为_____;②设任选的三位数为[abc]（不妨设a>b>c），试说明其均可产生该黑洞数.

分析：（1）根据[mn]=10m + n，[abc]=100a + 10b + c，分别代换可得到关于x，y，t的一元一次方程，解方程即可分别得出结果;（2）将[mn]，[nm]分别根据定义写成10m + n和10n + m，然后再依据整式运算性质便可看出一定能被谁整除;（3）①依据“卡普雷卡尔黑洞数”的定义反复推算可得出;②由a>b>c，[abc]=100a + 10b + c，重新排列得到最小的数为[cba]=100c + 10b + a，第一次运算可得到99（a-c），结果必为99的倍数，再依据a，b，c的大小关系，以及各数位上的数至少相差1的特点，可以得出a-c的取值范围，从而写出第一次运算后所有可能的结果，再将这些数字依据“卡普雷卡尔黑洞数”的定义进行推算，便可得到结果.

以后均重复运算，则都可以得到该“卡普雷卡尔”黑洞数为495.