两类有趣的新数
2020-09-10王广崇
王广崇
数学大世界里有形形色色的数,它们已成为中考命题的新素材.下面就来介绍两类新数.
例1(2019·重庆)《道德经》中的“道生一,一生二,二生三,三生万物”道出自然数的特征. 在数的学习过程中,我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究,如学习自然数时,我们研究了奇数、偶数、质数、合数等. 现在我们来研究另一种特殊自然数——“纯数”.
定义:对于自然数n,在计算n+(n+1)+(n+2)时,各数位都不产生进位,则称这个自然数n为“纯数”,
例如:32是“纯数”,因为计算32+33+34时,各数位都不产生进位;23不是“纯数”,因为计算23+24+25时,个位产生了进位.
(1)判断2019和2020是否是“纯数”,请说明理由;
(2)求出不大于100的“纯数”的個数.
分析:(1)根据题目中的新定义解答,注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”;(2)不大于100的数分为一位数、两位数和三位数,可借助于不等式和列举法求解.
解:(1)2019不是“纯数”,2020是“纯数”.
理由如下:因为在计算2019+2020+2021时,个位产生了进位,而计算2020+2021+2022时,各数位都不产生进位,所以2019不是“纯数”,2020是“纯数”.
(2)由题意:不大于100的“纯数”包含一位数、两位数和三位数100.
①若n为一位数,则有n + (n + 1) + (n + 2)<10,解得n<[73],所以小于10的“纯数”有0,1,2,共3个;
②两位数须满足:十位数可以是1,2,3,个位数可以是0,1,2,共有9个,分别是10,11,12,20,21,22,30,31,32.
③三位数为100,共1个.
所以不大于100的“纯数”共有13个.
例2(2019·湖北·随州)若一个两位数十位、个位上的数字分别为m,n,我们可将这个两位数记为[mn],易知[mn]=10m + n,同理,一个三位数、四位数等均可以用此记法,如[abc]=100a + 10b + c.
【基础训练】
(1)解方程填空:①若[2x]+[x3]=45,则x=______;②若[7y]-[y8]=26,则y=______;③若[t93]+[5t8]=[13t1],则t=______.
【能力提升】
(2)交换任意一个两位数[mn]的个位数字与十位数字,可以得到一个新数[nm],则[mn]+[nm]一定能被______整除,[mn]-[nm]一定能被______整除,[mn]·[nm] - mn一定能被______整除.(请从大于5的整数中选择合适的数填空)
【探索发现】
(3)北京时间2019年4月10日21时,人类拍摄的首张黑洞照片问世,黑洞是一种引力极大的天体,连光都逃脱不了它的束缚,数学中也存在有趣的黑洞现象:任选一个三位数,要求个、十、百位的数字各不相同,把这个三位数的三个数字按大小重新排列,得出一个最大的数和一个最小的数,用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如若选的数为325,则用532-235=297),再将这个新数按上述方式重新排列,再相减,像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数,这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数” .①该“卡普雷卡尔黑洞数”为_____;②设任选的三位数为[abc](不妨设a>b>c),试说明其均可产生该黑洞数.
分析:(1)根据[mn]=10m + n,[abc]=100a + 10b + c,分别代换可得到关于x,y,t的一元一次方程,解方程即可分别得出结果;(2)将[mn],[nm]分别根据定义写成10m + n和10n + m,然后再依据整式运算性质便可看出一定能被谁整除;(3)①依据“卡普雷卡尔黑洞数”的定义反复推算可得出;②由a>b>c,[abc]=100a + 10b + c,重新排列得到最小的数为[cba]=100c + 10b + a,第一次运算可得到99(a-c),结果必为99的倍数,再依据a,b,c的大小关系,以及各数位上的数至少相差1的特点,可以得出a-c的取值范围,从而写出第一次运算后所有可能的结果,再将这些数字依据“卡普雷卡尔黑洞数”的定义进行推算,便可得到结果.
以后均重复运算,则都可以得到该“卡普雷卡尔”黑洞数为495.