参数不等式系统解集的闭性性质

摘要：借助函数的连续性以及凸性性质，结合Slater约束品性条件，建立了参数不等式系统解集的相关闭性性质。

关键词：参数不等式系统;Slater约束品性;连续性;凸性

定理：考虑参数不等式系统，其中，均为实值函数且参数。我们记向量并且上述不等式系统的解集为。假设上述参数不等式系统的Slater约束品性成立，即是说，，则以下结论成立：

（1）若均为连续函数，则有。

（2）若均为凸函数，则有，由此可得。

证明：（1）任取，由可知，存在序列，使得。因此，我们有。

注意到，均为连续函数。在不等式两边取极限可得，，即是说，。因此，由的任意性，我们有。

（2）任取，因为，所以，不妨设。因此，我们有且。

注意到，均为凸函数。因此，对任意的，有

即是说，。注意到，当时，，

因此，我们有。由的任意性可知，。此外，由于均为凸函数，因此，也是连续函数，结合（1）可知，。

参考文献：

[1]Rockafellar， R.T. Convex Analysis[M]. Princeton University Press， 1970.

[2]Fukushima， M.著; 林贵华译. 非线性最优化基础[M]. 科学出版社， 2011.

作者简介：彭兴媛，1985.12，女，漢族，硕士，讲师，概率统计，成都市外东十陵成都大学。