浅谈极化恒等式在向量数量积运算中的应用

李波

【摘要】19世纪末20世纪初才发展起来的“向量数学”，以其独有的属性，集数与形于一体，是数与形的完美结合，很快形成了一套具有优良运算通法的数学体系，成为数学新教材改革的一大闪光点.探索平面向量的代数形式与几何特征，不仅可以激发学生的学习兴趣，还可以引导学生拓展思路，培养学生的学科素养.

【关键词】向量，数量积，极化恒等式

引例：教材在证明向量数量积满足的乘法分配律，给出了向量数量积与代数类似的完全平方和平方差展开式.

下面我们简单讲解一下这两个式子的几何用法：

下面，本文通过几个具体事例，谈谈极化恒等式在向量数量积运算中的应用，感知体会一下向量运算中数与形的完美结合，以及数化形的简洁、直观、便捷.

小结：此解法通过极化恒等式，把向量的运算与欧式几何的直观性有机地结合起来，结合图形，直观的探求出最值条件，动点的位置，进而通过平面几何知识，利用同底三角形的面积关系，将问题等价转化为两个相似直角三角形的面积问题，借助相似比使问题高效便捷的得以解决.

小结：本题抓住圆的对称性，在变化中寻找不變的几何代数关系，通过向量数量积运算的极化恒等式，将问题转化为学生所熟悉的椭圆焦半径性质问题，体现了高中数学化归与转化的思想，拓展了学生的思维，培养学生多角度思考问题，积极探索解决问题的最佳途径.

小结：本题抓住数量接这一条件，利用极化恒等式，借助圆的定义巧妙的得到动点的轨迹，主要考查学生对数量积的运算转化和对高中常见曲线的定义掌握程度.

本文所述极化恒等式只是给解决向量数量积的运算提供了一种算法途径，其主要能解决的问题题模型是若线段的长度是个定值，其中点为一定点，为平面内任意一点，则可以考虑用极化恒等式解决范围、最值、定值的求解.本文通过具体的实例，简单讲述极化恒等式在数量积中的应用，体现向量这一工具在数与形转化中的作用，为学生拓展一个思维角度，引导学生探求向量的代数运算与欧式几何、解析几何等数学知识间的联系，培养学生观察、分析、解决问题的能力，乃至提高学生建立数学模型的能力.

参考文献：

【1】《普通高中课程标准实验教科书.数学4.必修 人民教育出版社A版》

【2】顾平声 《谈向量引入中学教学》

【3】章建跃 《几何中的向量方法》

四川省甘孜藏族自治州康定中学校 李 波