基于傅里叶定理的隔热服温度分布模型与最优厚度的计算

王齐悦

摘要：随着社会进步，特殊环境工人的工作条件逐渐引起广泛关注，对高温作业专用服装的研究逐年增多。为了更好的研究高温作业专用服装的性质，本文首先根据傅里叶导热定律建立物理学热传导偏微分方程。利用热阻与热流平衡的方程求得在进入高温环境前隔热服上温度的分布。然后在给定部分条件下求解工作服第二层最优厚度。最后成功确定了皮肤层的性质与参数，修正了物理模型。

关键词：傅里叶定理;隔热服;温度分布

一、背景

近年来，特殊工人们的工作条件愈来愈受到广泛关注，其中高温环境工作最为普遍。现有的高温作业防护服通常由三层构成，常见高温作业服由三层织物材料，在测试工作防护服性质时，通过实验室的高温环境来模拟工作时的环境，建立数学模型解决人体表面温度的变化问题。

二、实验描述

将体内温度控制在37℃的假人放置在实验室75℃的高温环境中，Ⅱ层厚度为6mm、Ⅳ层厚度为51mm、工作时间为90分钟的情形开展实验，测量得到假人皮肤外侧的温度。通过建立数学模型，计算温度分布。更改环境温度为65℃，第四层的厚度为5.5毫米，在确保工作60分钟时，假人皮肤外侧的温度不超过47℃，并且超过44℃的时间不超过5分钟。假设可以忽略高温作业服的形状以及不同部位差别，将温度分布转化为一维导热模型。为保证温度的连续变化，假设传热方式全部为热传导。由于体内为恒温37℃，不会随时间变化，假设皮肤表面与体内之间存在一层热阻层。

三、物理模型

自然界中，传热的基本形式只有三种：热传导、热对流和热辐射。当不同温度的物体进行相互接触时进行的传热方式为热传导。对于一块厚度为δ，橫截面积为A，导热率为λ的平板，假设平板两侧温度分别为：a，b，热量的传递公式根据实验得到为：

五、求解

由于偏微分方程很难解出，采用有限差分法来获取其数值解。用有限个差分来近似表示温度的微分，即将隔热服分为许多个小薄层，认为在同一个时间下每层的温度都是相同的。将原方程中微分利用差分代替，当某一厚度为△x的薄层左右两边为同一介质时：（T（k）表示第k时刻的第m层的温度）（见公式3.1）

当某一厚度为△x的薄层左右两边为不同材料时（见公式3.2）

λ为第m-1层的热导率，λ为第m层的热导率。采用高斯-塞德尔迭代法进行计算。在计算时首先将题中的己知数据进行分析，观察表皮温度随时间的变化：（见图1）

在不到两千秒时，整个隔热服已经达到稳态。以2000秒为时间终止要求，可以保证在此之前达到稳态，以1000秒为图形展示范围，可以更直观的看出图形结果，前2000秒内每隔0.1mm、每隔1秒为一个节点的2000×152个的数据，截取不同面内的图像。（见图2）

最终每一层的温度不随时间发生变化了，且温度不变化的时刻与皮肤外侧温度达到稳态的时刻相近。此算法得到的稳态温度分布，与理论稳态温度分布进行比较，可以对此训算结果进行检验。

为了优化算法，更快的达到最优解，采用二分法对于满足约束条件的最优厚度进行求解。可以认为皮肤层是一层厚度均匀，性质均匀的导热物质由热阻及复合壁导热性质：

现将皮肤层的各个参数展示如表2：

随着厚度的增加，工作服的总重量增加，舒适度会降低，材料消耗增多。所以目标即为最小的总重量，求第二层的最优厚度即为在满足约束条件下的最优化问题：

采用二分法来求解满足一定精度的第二层最优厚度。最终解得第二层的厚度为17.4mm时最优。此模型运算简单，具一定推广价值。但鉴于数据不完善，个别参数可能需要进一步确定。

参考文献：

[1]戴嘉尊，邱建贤编著.微分方程数值解法[M].东南大学出版社，2002.

[2]（美）罗森诺（I3ohsenoiv，W.M.）著.传热学[M].科学出版社，1987.

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[5]潘斌.热防护服装热传递数学建模及参数决定反问题[D].浙江理工大学，2017.