极限求解的模型化思维

唐国平 崔金超 王勇

[摘 要] 高等数学是理工科大学生的必修课，极限是整个高等数学课程的根基所在，既是课程的重点也是难点，根据多年高等数学教学经验，针对学生在极限运算中容易出现的问题，提出了“形神兼顾”“多种方法联合使用”的求极限策略，对学生理解极限和求极限起到了很好的作用。

[关键词] 函数极限;极限模型;模型化思维

[基金项目] 2018年度国家自然科学基金项目（11802103）;2019年度国家自然科学基金项目（11972122）;2019年度广东医科大学博士学      位人员科研启动基金项目（B2019021、B2019042）

[作者简介] 唐国平（1978—），女，河南安阳人，理学硕士，广东医科大学讲师，主要从事数学模型教学与竞赛、序贯概率统计研究;崔金超（1983—），男，山东泰安人，理学博士，广东医科大学副教授，主要从事几何力学研究;王 勇（1973—），男，陕西人，理学博士，广东医科大学副教授，主要从事力学问题中的现代数学方法。

[中图分类号] G642.0    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2020）34-0282-02    [收稿日期] 2019-10-08

一、引言

极限是整个高等数学大厦的基石，无论是函数的连续性、函数的微分或是积分，本质上都是极限问题，而高等数学又是众多后继课程的基础，因此，特别是理工科学生进入大学以后，学好极限是非常有必要的。高等数学中会学到两类重要极限，在课堂及各类考试中时常出现两类重要极限的变形[1]。多年的教学发现，学生特别容易出现两种情况，一是对一些简单问题，容易只看“外表”不看“内在”而导致错误;二是难以识别所求极限是否是重要极限的“变形”。考虑到学生对《西游记》有着不同程度喜爱这一事实，在教学过程中，常常呼吁学生要向孙悟空学习，练就孙悟空那样的火眼金睛，无论白骨精如何变化，都逃不过孙行者的法眼，而妖魔鬼怪就是那千变万化的极限。细心的人不难发现，这些变化似乎都有一个万变不离其宗的根本，若能抓住根本以不变应万变，岂不快哉！那么问题来了，不变的究竟是什么？变的又是什么？该如何去做呢？这正是本文的目的所在.

二、两类重要极限的推广

为叙述方便，称极限的函数表达式为“形”，称极限过程（自变量的变化过程）为“神”，学过极限的读者都知道，“形和神”二者之一发生变化，极限就会随之改变。只有当一个极限在“形和神”都与某一重要极限一致，才能断定其属于此类重要极限的变形，这里就包含了一个不变的根本——极限模型。只要能够牢牢抓住极限模型的不变性，解决问题的方向确定了，第一步就成功了。注意：以下各命题中出现的lim都表示自变量同一变化过程中的极限。

四、多种方法联合使用，提升求极限的效率和準确率

经过前面的学习和讨论，学生基本练就了“辨别重要极限的火眼金睛”，但是，怎么能够快速高效地解决问题还是要讲究一些策略，这也是在考查学生是否真正掌握了这些求极限的方法。在教学过程中发现了这样一个奇怪的现象：或许是因为在某种程度上用求导的方法求极限比较简单，学完洛必达法则求极限的方法之后，多数同学会“瞬间忘记”了在第一章中学过的各种求极限方法，遇到不定式极限，就直接用洛必达法则，暂且不说洛必达法则无能为力的极限问题，就洛必达法则能求解的极限而言，也是错误百出，大致有以下几个原因：（1）在反复多次使用洛必达法则的过程中，容易形成“惯性”，当条件不满足时继续使用洛必达法则，导致错误。（2）忽略了多种求极限方法的综合灵活运用。（3）计算过程中缺少应有的耐心，耐不住“寂寞”。（4）忽视了求极限之前尽可能化简和有理化的环节。

事实上，等价无穷小量代换、两个重要极限、消去零因子、有理化和洛必达法则等方法的综合运用，才能使计算量大大降低，同时计算的效率和正确率大大提高。

五、结语

两类重要极限名不虚传，变化多端，要做到形神兼顾，方可稳坐“中军帐”决胜千里之外。对于不定式极限问题，洛必达法则未必总是最好的方法，灵活运用多种求极限方法才是制胜法宝。总之，数学就是由一个个模型构成的，在学习极限时若能充分发挥极限模型的强大功能，学习极限便能驾轻就熟。

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007.