双偶数阶完美和幻方的定义及其构造方法

张 婧， 刘兴祥， 董朦朦

（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安 716000）

矩阵是许多理工学科的主要数学工具，与众多学科的研究发展息息相关. 而在矩阵这个庞大的主干下有一类特殊矩阵-幻方. 近年来，许多学者关注幻方研究的问题，其研究成果［1-16］也层出不穷. 本文在充分掌握了幻方定义及性质之后，研究一种新的幻方即完美和幻方，又称纯幻方和泛对角线幻方，并总结出双偶数阶完美始元和幻方的一种构造方法.

令C=4k∙A+B，则C 是始元完美和完美幻方.

证明 1）先证明矩阵A 的行和、列和、主副对角线和及其与主副对角线平行的线上和相等：

3）证明矩阵C 为始元完美和幻方：

根据矩阵A 和矩阵B 都是完美幻方，则矩阵C=4k∙A+B，则矩阵C 是幻和为32k3+2k2的完美和幻方，再证矩阵C 为始元完美和幻方，由矩阵A 的构造知A 中元素的行下标被4 整除，余数相同的，列下标被2整除余数相同的元素，构造方法相同；矩阵B 中元素的行下标被2整除余数相同，并且所在列在前2k，或后2k的，元素构造方法相同，所以我们根据所在的行构造方法，只需对矩阵C 的前4行进行验证，若矩阵C 的前4行元素为两两互不相同的，则矩阵C 中的元素是两两互不相同的，并且为1-16k2个连续的正整数. 矩阵A 的1、3行和2、4行的元素是由2k 组和为2k-1 的2个不相同元素的重复排列，且1、3行和2、4行的元素互不相同，但1、3两行和2、4两行的两个不同元素的排列顺序不同，而矩阵B 的1、3两行和2、4两行元素及排列顺序完全相同，且为前4k 个正整数的全排列，则矩阵C 中1、3 两行为被4k 整除，商相同的4k 个互不相同的数，2、4两行也为被4k 整除，商相同的4k 个互不相同的数，且C 的前4行元素各不相同，且矩阵A 中的元素在后面的4k-4 行元素中没有与前4 行重复的元素，则矩阵C 中的元素是两两互不相同的，并且为1-16k2个连续的正整数. 则矩阵C 为始元完美和幻方.

证毕！

例 1）构造4阶完美幻方：

A 的幻和为6；B 的幻和为10；C 为幻和为34的4阶完美始元和幻方.

2）构造6阶完美幻方：

A 的幻和为28；B 的幻和为36；C 为幻和为260的8阶完美始元和幻方.