一道复杂概率问题的辨析

史昊儒

1 问题的提出

一档综艺节目中，舞台上有三扇关闭了的门呈现在参赛者面前，其中一扇门后面引出这名贵豪车，而另外两扇门后面则是一只羊。参赛者可以随机指向其中的一扇门。如果选中后面有车的那扇门，那参赛者就可以赢得这辆名贵豪车。每当参赛者选定了任一扇门后，节目主持人会在打开该扇门前，就绕到门的后面，然后从剩下的两扇门打开藏有羊的一扇（剩下的两扇门中至少存在一扇门后藏的是羊）。接下来参赛者可以重新选择。那么参赛者如何做才能尽可能地打开后面藏有豪车那扇门呢？

这个问题非常经典，但是很多人仍然囿于思维的桎梏，无法接受正确的答案。直觉在做数学题时非常重要，能让我们快速达到目的，但有时却是一种错觉，尤其是概率题[1]。接下来将用3种不同的方法辨析。

2 树状图分析

图1 树状图

如图1所示，不妨设参赛者选择了A门。那么有3种情况，豪车分别在A、B、C三扇门后，且此时概率相同[2]。

情况一：豪车在A门后：

此时主持人随机打开B、C中的一扇门，露出一只羊，另一个门里仍然是羊，此时坚持选择A门，则可以得到豪车。

情况二：豪车在B门后：

此时主持人只能打开没有豪车的C门露出羊，另一扇B门里是豪车，此时坚持选择A门，则只能看到A门后的羊。

情况三：豪车在C门后：

此时同情况二，坚持选择A门，则只能看到A门后的羊。

上述三个情况发生概率相同，情况一更改选择不能得到豪车，而情况二、三更改选择能得到豪车。所以对于这三种等可能的情况，参赛者选择另一扇门得到豪车的概率是2/3，大于原有选择的1/3。如果参赛者事先选择的是B门或者C门，由于等可能发生，那也和前面的逻辑分析是一致的。所以无论参赛者事先选择了哪扇门，他都应该在排除一个错误答案后再选择另一扇门。

3 归谬法

大部分人无法接受正确答案的原因，可能是2/3与1/3者两个数的差不大，从而导致依靠直觉做出了错误的判断，那么我们把这个问题推广到以下两个问题。

问题一：有100扇门，其中1扇门后是一辆豪车，另外99扇门后都是羊，参赛者选中1扇门后，主持人在剩余99扇门中找出有羊的98扇门打开。现在，参赛者面临未打开的两扇门，有一次更改选择的机会。请问他要不要更改选择？

这种情况下，可能大部分人的直觉就可以做出正确的判断：要更换选择。因为原本每扇门后有豪车的概率都是1%，选定一扇门之后，另外99扇门加在一起，有豪车的概率就是99个1%相加，等于99%。去掉98个错误答案之后，如果豪车在这99扇门的其中一扇里，那么就一定是在剩下的那扇门里，此时这扇门里有豪车的概率就等于最初这99扇门里有豪车的概率，是99%。那么如果更改选择，得到豪车的概率就从1%变为了99%，结果显而易见。

问题二：有100扇门，其中1扇门后是一辆豪车，另外99扇门后都是羊，参赛者选中一扇门后，主持人在剩余99扇门中打开后面有羊的1扇门。现在，参赛者面临未打开的98扇门，有一次更改选择的机会。请问他是否应该更改选择？

这种情况下，去掉99个答案中1个错误答案，就相当于把原有的99扇门加在一起得到豪车的概率99%，平均分给剩下的98扇门，相当于（99/98）%，因为（99/98）%＞1%，所以也应该更改选择。

由上面两个问题，可以推断出更改选择后得到豪车的概率更大一些。所以我们可以得出结论：类似问题中，只要在参赛者选定一个答案后，再去掉剩余选项中的任意数量的错误答案，参与者更改自己选择，总会有更大概率获胜。

4 第三个人的选择

以上的情景发生后，也就是参赛者选择A门，主持人在B门、C门之后排除了一个非豪车的答案，那么对于参赛者来说，换剩余的那个门，得到豪车的概率更大。当参赛者换门之后，不妨设排除的是C门。此时参赛者面前只面临两扇没有打开的门了。一扇是之前选择的A门，一扇是豪车概率为2/3的B门。

该参赛者保持沉默不语时，此时引入除主持人、观察者之外的第三个人参与。该嘉宾只面临两扇未打开的门：A门和B门，后面分别是豪车和羊。那么请问，该嘉宾如何做才能使得自己选择到门后豪车的概率更大？

显然，对于嘉宾来说，面临的是“二门问题”，如果任选一个，则门后是豪车的概率是1/2。我们发现，这时看到同一种画面，参赛者和嘉宾得到的概率是不同的。参赛者认为A门、B门后是豪车的概率分别为1/3，2/3。那么对于同一种画面，参赛者和嘉宾得到的概率不同，是否矛盾呢？正确答案是不矛盾。因为虽然呈现在眼前的画面一样，但是参赛者知道更多的信息——B门是打开C门之后剩下的选择。知道信息的不同，会得到不同的概率。这一事实非常容易理解。比如对于看到幕后的主持人，三个门的概率分别是100%、0%和0%。因为主持人知道的信息更多——他看到了幕后。所以，知道信息最少的嘉宾的判断，和知道最先选择了A门的这一信息的参赛者得到的概率是不同的。

该嘉宾要想选择到后面藏有豪车概率更大的门，随机选的概率是1/2。他的最佳选择除了询问主持人正确答案之外，应该问刚才发生了什么。嘉宾若知道参赛者事先选择A门，然后排除C门这一信息之后，对其来说，A门、B门后面是豪车的概率也随即变为1/3、2/3。

从这个问题中，我们可以得出结论：知道信息的不同，做出判断的概率就不同。对于嘉宾来说，他如果不知道参赛者事先选择的门，则他可能遇到两种情况：1）参赛者事先选择的是A门，然后排除C门；2）参赛者事先选择的是C门，然后排除A门。所以对于是针对哪种情况做出眼前画面一无所知的嘉宾做出的概率是1/2和1/2。如果嘉宾询问，那么他就知道了是发生了1）或者2）中的哪种情况，从而得到和参赛者一样多的信息。

5 条件概率

之所以会反直觉，是因为人的生活中遇到的实际问题多数是先验概率，事件之间是相对独立事件。比如是否引入第三个嘉宾不会影响参赛者做出正确的概率判断。但是，从剩余两个门中排除一个错误答案，对参赛者的观察产生了影响。

在概率论中，我们用P（A）表示随机事件A发生的可能性大小。条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率[3]。我们用P（A|B）表示条件概率，即在随机事件A在随机事件B已经发生的情况后的可能性大小[4]。事件A与事件B的联合概率表示为P（AB），意思是指事件A和事件B同时发生的概率[5]。

联合概率中，所以可以推出条件概率：

我们约定其中一扇门后面是豪车的随机事件A、B、C，则三扇门后有豪车的概率P(A)=P(B)=P(C)=1/3；约定主持人打开三扇分别是随机事件KA、KB、KC。

不妨假设参赛者首先选择的是A门，而主持人做了KC（打开了C门）。那么这道题就是求参赛者在看到主持人打开C门后，坚持自己的事先选择而继续选择A门且背后是豪车的条件概率P(A|Kc)是多少？如果选择另一扇门B门且背后是豪车的条件概率P(B|Kc)是多少？

根据条件概率公式我们有：

将P(A)=P(B)=1/3和P(KC)=1/2等代入公式（2）、公式（3），得出：

所以更换选择才能使得抽中豪车的概率更大。

6 结语

对于复杂的概率问题，可以通过树状图等方法直观感受，也可以查找其中的条件概率计算。注意区分独立随机事件和条件下的随机事件。由于两个随机事件的发生可能并不互相独立，所以条件概率和独立概率并不相等。

现实生活中，很多情况下的更优答案和我们的直觉认知是不一样的。直觉来源于经验。因此我们需要保持理性的思维，对待科学问题不能想当然；另一方面也要积累正确的经验，这样才能在一些情况下拥有更接近理性分析的直觉。