基于Pasternak地基模型的分层土群桩振动阻抗分析

熊 辉，黄旺辉

（湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410082）

1 概述

桩基础在实际工程中使用广泛，具有承载力高、适应性强、稳定性好、材料损耗小、便于施工等特点，并且能够在各类地质环境中使用，易于满足各类建筑物的不同要求。目前国内外研究群桩土相互作用的求解方法主要有2种：一种是通过有限元和边界元来解决的整体法或直接法，另一种是相互因子叠加法。WOLF［1］在有限元法基础上，考虑体系的对称性，研究了不同桩数基础的阻抗。有限元法适用范围广，但是存在计算量大和使用复杂等缺陷，对于众多实际工程问题的分析尚存在一定难度。ELAHI［2］等考虑了群桩相互作用和桩土界面土体屈服的影响，采用边界元法有效地研究了群桩的位移和内力，但边界元法求解推导较复杂，前、后期的运算量较大。相互作用因子的概念最先是由POULOS［3］提出，KAYNIA［4］在POULOS基础上采用边界积分法将静力相互作用因子的原理推广到群桩动力相互作用问题。杨冬英［5］等基于连续介质模型，开展了双向非均质土中桩的纵向动力特性研究，连续介质模型概念清楚、理论性强，但针对层状地基模型的运用仍需要进一步研究。

MCCLELLAND和FOCHT［6］是最早提出Winkler地基模型，其将桩比拟成弹性地基梁，地基土等效为一系列的独立弹簧和阻尼器。DOBRY和GAZETAS［7］基于Winkler地基模型考虑桩-土-桩相互作用的基础上，建立了一种计算群桩动力刚度和阻尼的简便方法，但此方法直接将桩的位移等同于周围土的位移，没有考虑周围土层和被动桩之间的相 互 作 用 关 系，MAKRIS［8］和GAZETAS［9］等 在此基础上考虑两者的动力相互关系，完善了群桩阻抗的简便求解方法。并进一步研究了弹性地基中桩-土-桩结构动力相互作用。蒯行成［10-11］等推导了Winkler地基模型的分层土动力相互因子，并进一步推导了群桩水平动力阻抗。熊辉［12］等基于Laplace变换，在Winkler模型中考虑分层土特性，研究了桩顶轴力对群桩阻抗的影响，推导出了计算分层土中水平动力相互因子的新方法。然而Winkler模型在理论上还不够完善，忽略了桩身周围土的抗剪能力，对于剪切刚度较大的地基土是不适合的。

Pasternak双参数地基模型针对Winkler模型的缺陷，考虑地基土连续性，将弹簧单元和阻尼器与只能产生剪切变形而不可压缩剪切层连接，从而引入地基土剪切效应，因此双参数模型的计算结果较Winkler模型更加符合实际。张望喜［13］等推导了地基反力模量为常数的长桩平衡微分方程，其计算结果表明双参数地基模型适用性优于单参数地基模型。王珏［14］等考察了成层土剪切效应的相邻桩基动力因子分析。本文基于Pasternak地基模型，考虑分层土剪切效应，采用了一种更加简化且能应用于任何分层土的计算方法，并运用传递矩阵法建立单桩-群桩阻抗计算方法。进一步研究了Pasternak地基模型下轴力对群桩阻抗作用，考察了土层模量、桩距径比、轴力等因素对群桩阻抗的影响。

2 基于Pasternak双参数地基模型的分析

2.1 分析模型

如图1建立双参数分层土地基中单桩A的水平振动模型。

2.2 单桩水平振动微分方程的建立

在推导双参数模型单桩-群桩阻抗时考虑了轴向力的影响，采用GAZETES［15］等提出的近似表达式作为沿单位桩长土抗力的简化计算式：

式中：kxi、cxi分别为第i层土提供的刚度系数和阻尼系数；Esi为土体压缩模量；d为桩径；ρi为土的密度；Vsi为土体剪切波速；ηi为土阻尼比；ω为振动圆频率；a0为无量纲频率；a0＝ωd／Vsi。

图1 双参数地基模型中单桩水平振动相互作用模型Figure 1 Lateral vibration of single pile in a two-parameter foundation model

2.3 传递矩阵和单桩阻抗

局部坐标下取主动桩A第i单元的顶部为z＝0，底部为z＝hi，可得局部单元桩顶和桩端处对应的截面变量关系为：

在实际工程中，桩的长径比较大，此时桩可近似视为无限桩长，桩长超过了有效桩长，因此可假定桩底固定［16］，即：

2.4 算例分析

本文中gxi采用TANAHASHL［18］提出的经验公式，即gxi＝d Gxi，剪切层厚度采用YAO［19］提出的影响范围值，取t＝11d，d为桩径。

基于上述推导，给出如下实例分析：单桩长度为37.6 m，桩直径1 m，其弹性模量和质量密度分别为21 GPa、2.35×103kg／m3；计算土层共分为9层，其各土属性参数如表1所示。

表1 场地土的参数Table 1 Parameters of soil ground

图2为考虑轴向力的单桩水平阻抗，Kh为水平动刚度，Ch为水平阻尼。分析表明，对于分层土地基，Pasternak模型的单桩阻抗计算结果较Winkler模型的计算结果偏大，双参数地基模型考虑了剪切效应，较Winkler模型更加的合理可靠。同时轴力的存在使单桩的动刚度和阻尼降低，因此对于长柔桩基考虑轴向力的验算是十分必要的。

图2 考虑轴向力的单桩水平阻抗Figure 2 Lateral impedances of single pile considering axial

3 横、轴向共同作用下水平群桩效应分析

3.1 群桩分析模型 （如图3所示）

图3 分层土-群桩相互作用基本模型Figure 3 Basic scheme of piles-layered-soil interaction

3.2 群桩动力相互因子的计算

通过上述分析得到单桩水平动力阻抗函数，为求解群桩模型建立了理论基础。单桩和群桩的动力特性有较明显的差异，因此研究群桩的动力特性是非常有必要的。如图4所示，x轴为桩A振动方向，θ表示两桩连线与x轴的夹角，两桩轴线间的距离为s。

土体的水平位移的衰减函数：

图4 两桩的平面位置示意图Figure 4 Schematic diagram of two piles

式中：rp为桩半径；η为土体阻尼比；Vsi为土体剪切波速；VLa为Lysmer模拟波速；υsi为土体的泊松比。与单桩解法类似，B桩第i单元的截面水平位移、转角、剪力与桩身弯矩顶部与底部的关系如下：

由此可得被动桩桩顶与桩尖的位移、转角、剪力和弯矩的关系式：

3.3 群桩水平动力阻抗

群桩桩数为n，承台为刚体，不考虑其质量影响，群桩的水平位移ωG等于各单桩水平位移。而各桩头位移等于自身桩顶荷载产生的位移与其他桩对该桩的位移之和，即：

3.4 算例分析

3.4.1 群桩动力相互作用因子分析

首先研究群桩的水平动力因子，再对群桩水平动力阻抗进行分析。以2×2群桩为例，L＝37.6 m，d＝1.2 m，横向桩距s＝5 m，纵向桩距s＝4 m，Ep＝21 GPa，ρρ＝2.5×103kg／m3，其余参数与表1相同，并考虑轴向力作用。

以1桩为源桩，图5为本文及文献［20］计算所得动力相互作用因子簇。R e(αup)、I m(αup)分别为水平相互因子的实部和虚部。从图6可以看出本文计算结果和文献［20］结果基本吻合，本文模型考虑竖向力计算所得的相互因子实、虚部均呈现出较文献数值偏大的规律。动力因子表现出较大的频率相关性，且非振动方向布置的桩频率相关性更强，同时桩间距影响较大，在频率较低时，桩距越小，相互因子则越大。

图5 分层土地基动力相互因子比较Figure 5 Comparisons of dynamic interaction factors of layered soil foundation

3.4.2 桩距径比影响分析

以线性地基中4×4群桩为例，假定每根桩分布的桩顶竖向作用力相同，求得的水平动力阻抗与Kaynia［4］精确解做对比，其结果除以16 Ksh进行无量纲化处理，从图6可以看出本文结果与文献［4］的数值结果有比较好的一致性，其中Ksh为单桩静刚度。

图6 线性地基4×4群桩水平阻抗Figure 6 Lateral dynamic impedance of 4×4 pile groups on linear foundation

同时双参数地基模型下，轴力的存在使刚度和阻尼项曲线都下降，会产生一定的水平附加位移。

在桩距径比较小时 s／d＝( )2，群桩的动力阻抗随频率变化的幅度不大；动刚度随频率的增加而缓慢的下降，在高频时出现负数；阻尼有微弱的上升和下降段但基本保持不变；s／d＝5和s／d＝10时，随着桩距的增加，图形波动变得复杂，并随着频率的增大出现峰值和谷值，同时峰值和谷值的出现频率也不相同。

3.4.3 桩顶轴力影响分析

以2×2群桩为例，两层土：L／d＝15，s／d＝5，桩土密度比 ρρ／ρs＝1.4，土体阻尼比 η1＝η2＝0.05，泊松比 υs1＝υs2＝0.25，Ep／Es1＝1 000，Ep／Es2＝500，令N0＝πGd，G为土体剪切刚度，分别取N＝0、N0、2N0进行分析，结果如图7所示。

图7 群桩水平阻抗随轴力的变化Figure 7 Variation of lateral impedance of pile group with axis force

从图7可以看出，与单桩阻抗结论类似，轴力的存在降低群桩阻抗，同时轴力的存在会增加桩顶位移，这一点从单桩阻抗的动刚度和动阻尼曲线下降也能看出；在一定范围内，随着N／N0的逐渐增大，动刚度和动阻尼的增幅会加快，N／N0越大，轴力对动刚度和动阻尼的影响也更加显著。

3.4.4 土层弹模比的影响分析

采用3×3群桩为例，四层层状地基，参数如下：L／d＝20，桩距径比s／d＝5，各层土厚度一致，桩土密度比 ρρ／ρs＝1.3，土体阻尼比 η＝0.05，泊松比υs＝0.25，假定二、三、四层土弹性模量不变，Ep／Es2＝Ep／Es3＝Ep／Es4＝1 000，分别取Es1／Es2为1、3、5，并考虑轴向力影响，结果如图8所示。

图8 群桩水平阻抗随土层弹模比的变化Figure 8 Variation of lateral impedance of pile group with soil elastic modulus ratio

从图8可以看出，在本例3×3群桩中，随着激振频率的增加，动刚度和动阻尼总体上是先增大后逐渐减小，第一层土体弹性模量对群桩阻抗曲线变化有较大作用，随着第一层土的弹性模量增大，群桩水平阻抗的峰值随之增大，同时峰值出现点后移，即峰值出现点对应的激振频率增大，因此，在实际工程中，对于上软下硬土体地质，为了提高对群桩的约束，可以通过换填部分表层土来实现，同时可以加强体系的稳定性。

4 结语

a.本文采用的双参数地基模型相比Winkler地基模型单-群桩阻抗计算结果都偏大且更精确，完善了Winkler模型研究单-群桩的理论。

b.轴力的存在虽然不能从根本上改变其振动形式，但单桩和群桩的阻抗都会降低，会产生一定的附加水平位移。

c.群桩的动力效应不仅和动荷载、土层有关，还和桩距径比、轴力、桩土弹簧比及桩长径比等诸多因素有关；并且其动力效应与频率有很强的关系，使得群桩动力效应相比单桩更加复杂，具有很强的研究性。在桩距径比较小时，群桩的动力阻抗随频率变化的幅度不大，随着桩距的增加，图形波动性变得复杂，且群桩的动力阻抗随桩土弹簧比减小而有增大的趋势。

d.本文采用方法计算量相对较小，计算也较简便，可为实际工程设计提供参考。