二次根式中的“双非负性”

顾世兵

在二次根式a中，存在两个非负的性质。一是被开方式a≥0，这是因为负数没有平方根的缘故。它是所有二次根式有意义的先决条件，具有很强的隐蔽性。我们在解题时，稍不留神就会掉入陷阱里。二是二次根式的值a≥0，这是因为a表示a的算术平方根的缘故。它是所有关于二次根式的等式成立必须要尊重的事实，是检验运算结果是否合理的重要依据。这两条非负性质在“二次根式”这一章中既是重点又是难点，具有非常重要的地位，理解它是我们学好这一章节内容的前提。

下面让我们一起走进二次根式的双非负世界。

一、直接用双非负性解决问题

1.利用a中的a≥0解决问题。

例1已知x、y满足x-3+5y+2=0，求x-y的值。

【解析】通过观察等式的结构我们可以发现：等式左边是两个二次根式的和，右边刚好为0。我们知道，互为相反数的两个数的和等于0，但根据a≥0可知x-3≥0，5y+2≥0，在它们都不为负的情况下，只有x-3=0且y+2=0时原等式才成立，则x-3=0，y+2=0，所以x=3，y=-2，則x-y=3-（-2）=5。

2.利用a中的a≥0解决问题。

例2已知x、y满足x-3+53-x=y+2，求x+y的值。

【解析】观察式子的结构，左边仍是两个二次根式的和，但右边是y+2，不为0，故例1的思路不再适用。我们经过进一步细细观察后发现：等式左边的两个根式的被开方式x-3和3-x刚好互为相反数。根据a中a≥0可得x-3≥0且3-x≥0，可知只有x=3（两个不等式联列成的不等式组的解集）时，这两个不等式才同时成立。把x=3代入x-3+53-x=y+2便可得y=-2，所以x+y=3+（-2）=1。

【点评】例1和例2都是通过一个等式解出包含两个未知数的特殊方程。它们的形式存在相似之处。我们首先要通过观察等式的特征辨别出题目的类型，然后根据题型选择具体的解法。

二、二次根式的双非负性对与它相等的代数式的约束

所有与二次根式相等的代数式都必须要保持与这个二次根式符号的一致性，如公式“a2=|a|”和“（a）2=a（a≥0）”。为什么前一个公式的结果中的a有绝对值，而后一个却没有呢？这是由二次根式的双非负性决定的。在公式“a2=|a|”中，由被开方式a2≥0得a取一切实数，但二次根式a2却是非负的，故无法保证a与a2符号的一致性，因此a2不能与a相等，只能是a2=|a|;而在公式（a）2=a中，被开方式a非负，（a）2也非负，它们保持着符号的一致

【解析】观察等式两边的特点，显然等式的右边是利用公式a2=|a|化简出的，因等式的左边“-（x-2）2”表示（x-2）2的负的平方根，故-（x-2）2≤0，根据等式两边符号的一致性可知：等式的右边也必须满足2-x≤0，所以x≥2。

【解析】从四个选项来看，它们的差别只在符号上，因此我们只要用二次根式的双非负性筛选各选项即可。先看被开方式是否非负：由-a3≥0得a≤0，因此选项C、D的被开方式a不符合非负的条件，它们都无意义，应舍去;再看二次根式是否非负：由-a3≥0知化简的结果应为非负，结合a≤0便可得选项A为负，与原式的符号不一致，也应舍去，因此只有选项B符合题意。

【点评】利用二次根式的双非负性分析问题，有助于我们提高解题的准确率，有助于我们对二次根式的进一步理解。三、利用双非负性反思计算结果的合理性二次根式的双非负性较为隐蔽，我们在解有关二次根式的问题时，要养成用这两条非负性检验答案合理性的习惯。

例5已知2x+5=x+1，则x=。

【解析】这是一道含有根式的方程，解它的障碍在于根号的存在，如何去掉根号是我们首先要考虑的问题。利用“开方”与“平方”是互为逆运算的关系，我们可以通过“平方法”去根号。把等式两边平方得（2x+5）2=（x+1）2，所以2x+5=x2+2x+1，解得x=-2或x=2。那么这两个计算结果是否都合理呢？我们可以利用二次根式的双非负性检验一下，当x=-2时，虽然被开方式2x+5≥0，有意义，但是等号的右边x+1=-1<0，而等式左边2x+5≥0，两边的符号不一致，故x=-2不能使等式成立;当x=2时，等式两边符号一致，且计算结果都等于3，故x=2能使等式成立。综上，x=2。

可以说，有二次根式存在的地方，都有双非负性的存在，这一性质是我们解决问题、理解等式、反思结果的重要依据，掌握并利用好它，我们定会学好这一章的内容。

（作者单位：江苏省句容市行香中学）