巧设辅助元 妙解应用题

王梅

列方程解应用题是初中数学学习的重点，也是难点。怎样列方程解应用题？除了找出题中的相等关系外，关键还在于如何设元（未知数）。设什么为元，需根据具体问题的条件来确定。

对未知元的选择，有时可将所求的量设为未知元，称为直接设元;有时需要将要求的量以外的其他量设为未知元，称为间接设元。有些应用题中隐含一些未知的量，这些与求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解，这时需把这些未知的量设元，以便建立等量关系，称为设辅助元。恰当地设辅助元，设而不求，能起到化难为易、化繁为简的作用，从而提高解题效率。

例1小王到集贸市场买香蕉，买每千克3元的香蕉用去所带钱数的一半，而其余的钱都买了每千克2元的香蕉，求小王所买的香蕉的平均价格。

【分析】香蕉的平均价格=总价格÷总数量，如果能求出总价格和总数量之间的比值，就能得到香蕉的平均价格。

解：设小王买了每千克3元的香蕉x千克，每千克2元的香蕉y千克，所用的钱数都是所带钱数的一半。

3所以3x=2y，即y=2x。

因此，小王共买了x+y千克香蕉，花去了3x+2y=6x（元）。

所以所买的香蕉的平均价格是每千克3x+2y=6x=2.4（元）。答略。

x+y2.5x

【点评】根据已知条件设辅助元，建立两个方程，巧妙地将两个未知数转化为一个未知数，并利用关系式求出比值，从而得到平均价格。

例2某班春游，上午8时从学校出发，先沿平路到山脚下，再爬到山顶，在山顶停留1.5h，沿原路返回学校时已是下午3时30分。已知平路每小时行4km，上山速3度是平路的4，下山速度是上山的2倍，求所行全程。

【分析】依據题意可知全程行走所用时间为15.5-8-1.5=6h。设平路为xkm，坡路为ykm，根据平路所用的时间，加上山所用时间，再加下山所用时间，再加平路所用的时间为总时间，得到方程，从而求解。

解：设平路为xkm，坡路为ykm。

依题意，得4x+3y+6y+4x=6。

化简得x+y=12，

所以2x+2y=24。

所以全程为24km。答略。

【点评】本题并没有求出平路与坡路的路程，而是设出辅助元，再巧妙地通过关系式，求得它们的关系。

例3有人问一位老师：“你教的班有多少学生？”老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足6名学生正在操场踢足球。”请问这个班共有学生多少人？

【分析】题目中要求学生数，这里的学生数是整数，是2、4、7的倍数;操场上的学生数不足6人，说明操场上的学生数大于或等于1且小于6。

解：设这个班共有学生x人，在操场踢足球的学生有a人。

依条件可知x、a都是自然数，且1≤a<6。

因为a、x均为自然数，3与28互质，所以a是3的整数倍。

而a又只能取1、2、3、4、5这五个数，所以a=3，因此x=28。

答：这个班共有28名学生。

【点评】本题设了一个辅助元a用来表示操场上的学生数。根据人数为整数且操场上的学生数不足6人，可以推断出方程的整数解。

例4甲、乙两个公共汽车站相向发车。假设一人在街上匀速行走，他发现每隔4分钟就迎面开来一辆公交车，每隔12分钟从背后开来一辆公交车。如果车站发车的间隔时间相同，各车的速度也相同，求两车站发车的间隔时间。

【分析】可根据行程问题中“路程=速度×时间”这个等量关系，设出相关辅助元，列出方程。

解：设车站前后两车发车的间隔时间为x分钟，公交车的速度为a米/分，人步行的速度为b米/分，前后相邻两车相距m

【点评】此题涉及速度、路程等数量，这些数量在题目中没有具体告知，但等量关系又需要它们，所以可设其为辅助元，使数量关系易于表达，给解题带来方便。

通过对上述几个问题的分析，我们可以发现，有些应用题，看起来似乎条件不充分，但可巧设“辅助元”，借助“辅助元”沟通量与量之间的关系，列出方程，在解方程的过程中，消去“辅助元”即可解决问题。

（作者单位：江苏省宿迁市钟吾国际学校）