差之毫厘 谬以千里

金国平

数学是一门严谨的学科，在推理证明时，常常是差之毫厘，谬以千里。下面以同学们推理证明时的典型错解为例进行分析。

一、“∴”符號的错误使用

例1如图1，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF∥AD，EF交AB于点G。求证：∠AGF=∠F。

【错解】证明：∵AD是△ABC的角平分线，1∴∠1=∠2。2

∵EF∥AD，3

∴∠1=∠3。4

∴∠2=∠F。5

∴∠3=∠F，即∠AGF=∠F。6

【错因】第5步使用“∴”，就表示“∠2=∠F”是由“∠1=∠3”得到的，而事实上“∠2=∠F、∠1=∠3”都是由“EF∥AD”推出的。

【正解】证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2。∵EF∥AD，∴∠1=∠3，∠2=∠F。∴∠3=∠F，即∠AGF=∠F。

二、辅助线的错误表述

例2已知：如图2，AB∥CD。

求证：∠E=∠B+∠D。

【错解】证明：如图3，过点E作AB和CD的平行线EF，则EF∥AB，EF∥CD。∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠1+∠2=∠B+∠D，即∠BED=∠B+∠D。

【错因】作一条辅助线时，要注意只能让这条辅助线满足一个条件，若还需得到其他条件，则需证明。错解中的辅助线“过点E作AB和CD的平行线EF”是为了让辅助线EF同时满足两个条件（EF∥AB和EF∥CD）。这种作法违背了“一条辅助线只能满足一个条件”的原则。

【正解】如图3，过点E作EF∥AB，证明过程略。

要提高数学表达能力，同学们首先需熟练掌握教材上的相关概念、法则、基本事实和定理，说理时要言之有理、言之有据;其次，要正确地理解数学符号的含义和辅助线的表达要求;最后，要多写多说，对平时的错误及时反思，在弄清错因的基础上纠正提高。

（作者单位：江苏省扬州市江都区小纪中学）