基于深度学习的高中数学问题链设计*

广东省广州市广州中学(510640) 陈 冰

随着教育改革的不断深化,如何让学生更好地发展,成为了人们关注的问题.《普通高中数学课程标准(2017年版)》中提出:创设合适的教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质;能建构数学问题的直观模型,探索解决问题的思路;学生能够在比较复杂的情景中把握事物之间的关联,把握事物发展的脉络,形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神.这些都是为了更好发展学生的分析理解、建构体系、迁移应用的能力.这与深度学习的目标一致.深度学习的概念是美国学者Ference Marton 和Roger Saljo借鉴布卢姆认知维度层次划分理论创造性提出的.深度学习是深度理解概念、构建学习环境、基于原有认知结构的知识体系建构、注重反思、以迁移和解决新问题为目标的一种学习方式[1].

如何在教学中实现深度学习呢?笔者认为,可在课堂教学中通过合理的设计问题链来实现.问题链是教师根据学生的认知水平,根据教学目标,通过引导和启发学生进行多角度、多层次的思考与探索而设计的一连串有效的问题.所设问题环环相扣,层层递进,不断地激发学生的创造力,帮助学生利用已有的知识去分析问题,最后用批判性的思维去体会知识在不同情境中的应用.

下面笔者结合教学实践,例谈如何通过问题链引导学生实现深度学习.

1 通过已学知识设计问题链,实现深度学习

深度学习提倡将新知识与已知概念和原理联系起来,整合到原有的认知结构中,从而引起对新的知识信息的理解、长期保存及迁移应用[2].学生根据已经获得的知识、技能和方法,来获得新知识、新技能和新方法,加强学生的思维迁移能力.为了更好地引导学生进行论证、推理及迁移,问题链的设计应具有递进性,引导学生由特殊到一般去认识知识.学生体会到知识的产生过程,经历了深度学习,了解到知识的内含与外延,才能更好地解决问题,拓宽学生思维,为以后灵活应用作铺垫.在平时教学中,经常会发现学生应用迁移能力差,前学后忘的情况.其原因是学生没有充分经历和感知知识的发生、发展过程,没有领悟到知识到知识之间的关联.

案例两角和与差的正余弦公式(必修4 第三章第一节)

在三角变换中,两角和差的正余弦公式是大部分公式的基础,承上启下,既是诱导公式的推广,又是之后公式的源泉.两角和与差的正余弦公式的得出过程结合向量,两点间距离公式,是运用已学知识再生出来的知识,经历这个过程,能培养学生由特殊到一般、类比推理、联系旧知识再生新知识的能力,深入了解来龙去脉,才能让学生更灵活去应用公式,同时利用这种学习方法去学习掌握新的知识与规律.

图1 “两角和与差正余弦公式”问题链设计

这节课的问题链设计,让学生经历了类比—观察—发现—分析—解决的过程,通过学生熟知的诱导公式的发现思路,采用类比的方法,先从特殊情况出发,在[0,π]内取角,再表达出角α,β,α−β以及角的终边与单位圆交点的坐标,学生会有图2 和图3 这两种表示,这为发现它们之间的关系奠定了基础.同时教会学生一种探索问题的方法,表示相关的“量”,寻找“量”之间的关系,并进行数学化,图2 中从几何关系出发由∠P1OP2=∠P3OP0得到|P1P2|=|P0P3|,由两点间距离公式得化简得两角差的余弦公式cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ.图2 也可以由向量知识出发，由得两角差的余弦公式.图3 可由以OP2为x轴建立直角坐标系后|P1P2|保持不变得公式或由向量这两种思路得出新知识.最后再引导学生将角推广到任意角,利用已有知识(诱导公式)去论证新知的正确性.通过这一串的问题链,结合学生的知识基础,一步步使公式完善,由旧知迁移出新知.

通过已学知识设计问题链,由浅入深,由特殊到一般,层层递进,这很适合命题类等知识的讲解,比如圆锥曲线方程、正余弦公式、平面向量基本定理等.

教学过程在问题链的层层引导下,引导学生学会思考与探索,有问题才会有发现,有思考才会有收获,这种问题引导的思维课堂,使得知识自然产生出来,学生应用、解决问题更加得心应手.在此过程,培养了学生由旧知到新知的迁移能力,实现深度学习.

图2

图3

2 通过真实情境设计问题链,实现深度学习

分析理解能力是数学学习中一种很重要的能力.教师可以创设真实的情境,并引导学生利用相关知识与技能去解决情境中所给的任务.在这过程中,教师通过学生对任务的掌握情况去培养学生的假设验证能力、问题解决能力及批判性思维的发展,问题的解决也进一步提高了学生的分析理解能力,改变了传统的教师直接传授知识的局面,真正达成学生自我学习的过程.由真实的体验进而解决问题注重知识与技能的结合,能更直接、更真实地反映学生的学习效果.因此,问题链的设计应从让学生多体验、批判论证及检查方面去设计,要具备探索性.

案例数学归纳法(选修2-2 第二章第三节)

数学归纳法在证明与正整数有关的命题时,是一个很方便的工具,但学生却经常不明白为何要用、如何用数学归纳法.在“数学归纳法”的教学中,通过多米诺骨牌游戏视频及体验并让学生自己动手实验作为情境创设问题链(图4),展开课堂的教学,通过问题的解决来体现学生的知识掌握和应用水平.

图4 “数学归纳法”问题链设计

在课堂实施中,首先,课件展示费马猜想被推翻的过程,学生分享感受,认识方法寻找的重要性.接着,学生通过真实画面的直接感知,体会要让全部骨牌倒下,应该具备哪些条件?并通过自己的亲手实验证明条件的必要性;随后把骨牌推倒的实验类比到证明中去,学生通过分析归纳自主获得数学归纳法的原理及证明步骤.立足于真实情景下的数学教学,渗透了数学学科精神,增强了学生的数学知识实践应用能力、分析能力和理解能力,经过这一深度学习,激发学生对数学学习的兴趣.

通过真实情境设计问题链,在掌握与生活经验联系紧密的知识时,能让学生更好地去理解及运用,比如指数函数、等差等比数列概念、等差等比数列前n项和、平面向量、随机抽样等,在情境中通过分析归纳出本质,并将它数学化.

学习不仅是获取知识,更是让学科知识和实践应用联结,获取实际问题的分析、解决策略.通过真实体验情境去设计问题链,可以让学生在真实情境下分析解决实际问题,对知识进行理解、整合和运用,这体现数学知识的结构化的过程,它不仅仅让学生获得数学学科知识,建立数学基本观念,还培养数学思维和方法,从而实现了学生思维能力的形成和持续发展.

3 通过整体认知设计问题链,实现深度学习

学生通过建构完整体系,形成知识的整体认知,对解决问题能起到很大的作用.而知识体系的建立要求学生能对比出不同知识、情境中的异同,对差异之处作出合理的归因分析,让知识组块化,整理出解决问题的不同途径.课堂上,教师在学生已有的知识体系上通过一步步的启发,引导学生整体认知,这其中,问题链的设计就很关键.它应该具有层次性,符合学生的认知水平;其次问题链应具备启发性,引导学生自主归因、整合,最终达到对知识整体把握、透彻理解.经过这一深度学习,提高学生的建构能力,以更好地解决问题.

案例三棱锥的外接球问题(高三复习课)

图5 “三棱锥的外接球问题”问题链设计

外接球问题是高中一个难点问题.对于简单几何体如正方体、长方体的外接球问题,学生能很好掌握,但对一般的几何体,就有点束手无策.在高三的复习课中,笔者以三棱锥为切入点,通过整体认知设计问题链(图5)并展开教学,引导学生认识解决外接球问题的两个常用方法(补形法和构造直角三角形法),让学生体验三棱锥外接球问题的两种常用方法是如何建构出来的过程,促进认知体系的结构化,使其在以后的解题过程中,能自主思考和建构应用.

图6 可补成长方体的四类三棱锥

在本问题链设计过程中,主要重视知识的自然递进和学生认知结构的完备.通过问题1 对长方体及球的对称性,得出长方体外接球球心处在体对角线中点.在此基础上,由问题2 问题3 中让学生学会把三棱锥转化成熟悉的长方体,从而归纳出图6所示能补成长方体的四类三棱锥,也体会了为什么要补成长方体,完成知识组块一的建构.在问题4 中,学生碰到不可补形的三棱锥.此时在问题5 引导学生类比在圆中常做的辅助线手段—垂径定理,转化到球中也可以做类似的辅助线,从而得出解决不可补形三棱锥的方法—构造直角三角形(如图7),完成知识组块二的建构.通过这一串问题链的设置,让学生自然经历这两知识组块的建构,从而达到对三棱锥外接球这一问题类型的整体认识,形成清晰思路.对三棱锥外接球问题的结构化整合的思路可应用到球的其他类型的问题上,举一反三.

图7

通过整体认知创设问题链,对于高三复习课中的归纳性课程都很有帮助,学生从习惯思维出发,解决在过程中遇到的难题,最后形成一个结构化、整体化的体系.比如轨迹方程的求法、二面角的求法、排列组合的应用等知识的方法归纳.

在教学实施中,教师应注重学生知识的自然建构,设置一串串的问题链,引导学生主动思考,一步步达到整体认知的效果,促进学生思维的深入发展和对知识的积极建构,激发学生进行深度学习,培养学生建构能力和问题解决能力.

一个有效的课堂要做到的是为学生留有思考和探索的空间,使学生的主动性、创造性得到最大的发挥.借助问题链,能让课堂达到更好的效果.在课堂上,通过已学知识设计问题链,激发学生的迁移、创造能力;通过真实情景设计问题链,让学生在分析中获取知识并深入理解知识;通过整体认知设计问题链,让知识组块化,使学生建立完整体系.将我们的问题或任务以问题链的形式做有效设计,能使我们的课堂生动,也引导学生通过问题链实现深度学习,掌握具体的知识,不断提高思维能力.当然,深度学习是一个长期的过程,它需要教师认识到深度学习的重要性,积极引导学生建构数学认知体系,提高学习的有效性.问题链的设计方式是多种多样的,随着教师个人对概念、知识体系的不同理解而改变,但唯一不变的是不管从什么路径出发,我们的终点都是为了学生能在数学思维能力上获得更大程度的提高.