地震作用下大型渡槽结构输水功能可靠性分析

张威 王博 徐建国 黄亮

摘要：大型鋼筋混凝土渡槽作为生命线类水工结构，其输水功能可靠性至关重要。然而，一方面混凝土材料的力学性能表现出显著的随机性与非线性特征，另一方面渡槽结构在服役期内可能遭受不确定的灾害性地震作用，对渡槽结构的服役安全带来威胁。为此，采用混凝土随机损伤力学模型量化混凝土随机性与非线性耦联下渡槽结构的动力响应，并基于概率密度演化理论给出了渡槽结构输水功能可靠性分析方法。以某实际大型钢筋混凝土渡槽结构为例，详述了渡槽结构输水功能可靠性分析的原理和实现流程。研究表明，概率密度演化理论可以准确高效地对渡槽结构输水功能可靠性进行评估;不同设计水准下渡槽结构的输水功能可靠性指标存在一定的差异，在设计初期应予以合理考虑。

关键词：渡槽;输水功能;可靠性;随机损伤演化;概率密度演化理论;抗震分析

中图分类号：TV312;TV672 文献标志码：A 文章编号：20966717（2020）04014409

收稿日期：20191010

基金项目：国家自然科学基金（51579226）;河南省科技攻关项目（142102310535）

作者简介：张威（1983 ），男，博士，主要从事结构抗震分析与可靠性研究，Email：zw419064719@163.com。

Received：20191010

Foundation items：National Natural Science Foundation of China （No. 51579226）; Henan Science and Technology Program （No. 142102310535）

Author brief：Zhang Wei（1983 ）， PhD， main research interests： seismic and reliability of structures， Email： zw419064719@163.com.

Waterconveyance functional reliability analysis of largescale aqueduct structures subjected to earthquake excitations

Zhang Wei1， Wang Bo2a， Xu Jianguo2a， Huang Liang2b

（1.School of Engineering Management and Real Estate， Henan University of Economics and Law， Zhengzhou 450046， P.R. China;2a.School of Water Science and Engineering; 2b. School of Civil Engineering， Zhengzhou University， Zhengzhou 450001， P.R. China）

Abstract： Large scale reinforced concrete aqueduct， as a lifeline hydraulic structure， the reliability of its water transport function is very important. However， on one hand， the mechanical property of concrete is equipped with remarkable randomness and nonlinearity. On the other hand， the aqueduct structures may inevitably suffer from uncertain disastrous earthquake actions during service life， posing a great threat to their service safety. To these ends， the present paper proposed a quantification framework for the waterconveyance reliability assessment of the aqueduct structures by incorporating the stochastic damage mechanics model of concrete and the probability density evolution method. The principle and implementation procedures of the developed framework were illustrated in detail on an actual largescale RC aqueduct structure. The results show that the probability density evolution theory can accurately and efficiently evaluate the reliability of aqueduct structure water conveyance function. The waterconveyance reliability varies with the change of predefined seismic fortifications， which should be reasonably accounted for in early design phases.

通过微弹簧的随机断裂可将损伤表示为

式中：Af为断裂的面积;A0为初始总面积;n表示在当前荷载作用下断裂的弹簧根数;N为弹簧总数;Δi为第i根弹簧的断裂应变;H（·）表示Heaviside函数;ε为应变量。

令弹簧总数趋于无穷，损伤变量可按随机积分形式表述为

式中：D为混凝土损伤因子;Δ（x）为一维断裂应变随机场;x为空间坐标。

基于连续介质损伤力学理论[9， 16]，混凝土材料的一维损伤本构关系可表达为

式中：σ为混凝土应力;E0为混凝土初始弹性模量;εp为混凝土塑性应变。

该模型可采用如图7所示的曲线表达在一维反复加、卸载条件下混凝土的应力应变力学行为。

对于箍筋约束区混凝土，可通过修正损伤演化函数式（2）来反映约束作用对有效弹性应变发展和损伤演化的减缓效应，即约束混凝土的损伤演化函数表示为[16]

式中：γ为减缓系数[9]。

为了兼顾大型渡槽结构随机结构地震响应分析的精度和效率，采用纤维梁单元模拟渡槽结构各部件，进而建立其整体有限元分析模型。

2渡槽结构输水功能可靠性分析方法

2.1渡槽随机结构分析的概率密度演化方法

考虑结构自身特性和外部激励的随机性[18]，可将渡槽结构的运动方程广义表达为

式中：M和C分别为渡槽结构的质量矩阵和阻尼矩阵;U··（t）、U·（t）和U（t）分别为渡槽结构响应的加速度、速度和位移矢量;f（U，t）和F（t）分别为渡槽结构的恢复力和外部荷载矢量;Ψ=（Ψ1，Ψ2，…，Ψn）为渡槽结构包含的所有随机参数矢量;n为基本随机变量的个数;t为时间。

设X=（X1，X2，…，Xm）T为渡槽结构中感兴趣的响应量，则依据概率守恒原理，渡槽结构随机动力响应的概率密度满足偏微分方程[1718]

式中：X·（ψ，t）为响应量的广义速度。

式（6）的初始条件为

式中：x0为x的初始值，δ（·）为Dirac delta函数。

式（6）即为广义概率密度演化方程，揭示了渡槽结构响应的概率信息随时间的演化规律。通过求解式（5）～式（7），可获得渡槽结构响应量的概率密度函数

进而得到给定阈值下Xlim的渡槽结构时变可靠度

2.2与蒙特卡洛模拟方法的比较研究

为了验证概率密度演化方法在渡槽结构可靠性分析中的适用性，分别采用蒙特卡洛模拟和概率密度演化方法计算渡槽结构的随机动力响应，并进行对比研究。采用GF偏差选点方法[25]，优化选取200个离散代表性样本点集开展基于概率密度演化方法的随机结构分析，并进行10 000次蒙特卡洛模拟，分别获取结构响应的统计矩信息。

对于蒙特卡洛模拟，前k阶响应统计矩可按式（10）、式（11）计算。

其中：为期望算子;NMCS为蒙特卡洛方法分析次数;k=2，3，4，…。对于概率密度演化方法，前k阶响应的统计矩计算公式为

式中：NPDEM为基于概率密度方法选点的代表点个数，k=2，3，4，…。

分析中取NMCS=10 000;NPDEM=200，Pi为第i个代表点对应的赋得概率，可由Voronoi定义计算求得[25]。需要指出的是，在概率密度演化方法中，代表点通过数学理论上的论证与优化，使得仅采用少量“优质”的代表性点便能获得足够精确的随机响应，并极大地提高了计算的效率。这与传统的蒙特卡洛方法采用大量非优化的随机样本点思路不同。

依据止水相对位移的前4阶统计矩，对比图8、图9（图中MCS代表蒙特卡洛方法，PDEM代表概率密度演化方法，下同）可知，概率密度演化方法计算结果具有与蒙特卡洛方法相同的高精度特性。概率密度演化方法仅需要200次确定性分析，而传统的蒙特卡洛模拟却需要数千上万次的分析成本（如文中采用的10 000次）。可见，概率密度演化方法在精度满足要求的情况下，计算效率上具有显著的优势。

为了深入分析渡槽结构动力响应的更多概率信息，图10给出了基于概率密度演化方法的截口概率密度函数与基于蒙特卡洛方法的截口响应直方图对比，图11给出了不同时刻下的概率分布函数（图中3条实线为基于概率密度演化方法的计算结果）和经验分布函数（图中三角、矩形和圆形标识为基于蒙特卡洛方法的计算结果）。

图10和图11所示的概率密度函数与概率分布函数均为求解广义概率密度演化方程所得，而基于蒙特卡洛方法的经验分布函数则由式（14）计算所得。

式中：I·为示性函数。由于基于蒙特卡洛方法的计算结果受带宽影响，因此，图10中直方图不能用于反映结构响应的密度演化信息;而基于概率密度演化方法，通过对概率密度演化方程的求解，可以获得结构响应的截口概率密度函数（如图11所示），这也就自然解决了传统的基于矩方法导致概率信息不封闭的问题。

2.3渡槽结构输水功能可靠性分析流程

采用GF偏差選点方法[25]选取若干渡槽随机结构样本，并计算相应的赋得概率。以此为基础，采用某实际地震波对渡槽结构进行横槽向地震动激励，得到一组确定性地震响应分析结果。利用概率密度演化方法对渡槽结构随机地震响应数据进行处理，可获取渡槽结构止水处响应量的概率密度演化信息。通过与吸收边界条件相结合，可开展渡槽结构的输水功能可靠性分析。渡槽结构随机动力响应分析与可靠性求解流程如图12所示。

3渡槽结构输水功能可靠性

在渡槽输水过程中，相邻槽身之间结构止水的横向错动是造成渡槽止水处漏水的主要因素。基于此，重点分析在地震作用下渡槽结构“相邻槽身之间止水横向错动（Dr）”的响应规律，建立Dr与渡槽结构输水功能可靠性之间的关联机制。

全部随机结构样本Dr的时程曲线如图13所示。由图13可知，结构响应随着损伤演化和非线性程度的发展产生了一定的随机涨落。这一涨落效应在渡槽结构处于初始弹性阶段或弱非线性状态（约前10 s）表现得并不明显;然而，随着地震动激励引起的渡槽结构损伤累积，渡槽结构的非线性程度加剧，对随机性的扰动变得愈加敏感，并随着激励的变化产生显著的涨落效应（约10～40 s之间）。由图13还可发现，有少部分样本结构的位移响应超越了40～60 mm的临界值。显然，在渡槽结构的抗震设计中，忽略混凝土材料力学性质随机性的影响有可能导致结构抗震分析与设计的不合理，对渡槽结构的输水功能安全带来风险。

分别采用两种不同的有限差分算法，即LaxWendroff（LW）差分格式和总变差减小（Total Variation Diminishing，TVD）差分格式[17， 26]，求解Dr响应的概率密度演化方程，获得了渡槽结构时程响应的均值和均方差（StD）曲线，如图14所示。尽管LW差分格式具有二阶精度，但在结构响应概率密度函数的不连续点处具有震荡现象并使得某些情况下的计算失真[27]，因此，该方法仅在验证TVD格式差分精度时使用。图14中两种算法结果吻合一致，说明在采用TVD格式差分算法求解概率密度演化方程中的差分时间步长取值合理。为了提高差分求解的精度，采用无振荡TVD格式的高阶精度差分算法求解概率密度演化方程。

图15和图16分别给出了渡槽槽身节段一与槽身节段二之间相对位移响应的概率密度随时间演化的曲面图和等值线图。由图15和图16可见，渡槽结构的位移响应随时间呈现出随机涨落效应。这一渡槽结构地震响应的丰富概率信息，可用于表达Dr随时间的波动规律，为开展渡槽结构输水功能可靠性分析奠定了基础。

图17为3个典型时刻的概率密度曲线。显然，该概率密度函数形状不规则，且分布的宽度和形状随时间发展均发生不断变化。这意味着渡槽结构在地震激励下的动力响应是复杂多变的随机损伤演化过程，混凝土材料力学性能的随机性导致了渡槽结构在地震作用下响应的随机涨落效应，并表现在Dr随时间的变化上。因此，在渡槽结构输水功能设计中需考虑混凝土材料随机性的影响，这对开展渡槽结构止水的抗震性能研究大有裨益。

获得渡槽结构止水动力响应的概率密度信息后，施加与失效阈值相应的吸收边界条件，可求得渡槽结构输水功能的可靠性指标。在0.2g地震激励下，对渡槽槽身节段一与节段二之间相对位移阈值Dr分别取40、45、50、55、60 mm，可计算其在不同阈值下的可靠度，如表2所示。5个阈值下渡槽结构输水功能的可靠度曲线如图18所示，渡槽结构的输水功能可靠度随时间呈现阶梯式下降的规律。在5个不同失效阈值下，渡槽结构输水功能可靠度迥异，也从侧面说明了失效阈值对输水功能可靠性的影响较大。

在渡槽结构止水的抗震设计时，一般取失效阈值为50 mm作为设计指标。上述研究表明，当设定渡槽结构止水失效阈值为50 mm时，在幅值为0.2g的Chi Chi地震波横槽向激励下，渡槽结构的输水功能可靠度为86.93%。

4结论

基于混凝土随机损伤力学模型和概率密度演化理论，提出了渡槽结构输水功能可靠性分析方法。主要研究结论如下：

1）与经典随机结构分析方法相比，基于概率密度演化理论的可靠度分析更加高效且精准，该方法能够获得渡槽结构在地震动激励下的完备概率密度信息。

2）渡槽结构止水相对位移限值是影响渡槽结构输水功能可靠性的重要因素，寻求提高止水相对位移失效阈值是提高输水功能可靠性的有效途径。

3）考虑混凝土材料参数的随机性会使渡槽结构止水在同等地震激励下的位移响应出现显著变异特性。因此，在渡槽结构抗震设计中应合理考虑混凝土力学性质随机性的影响。参考文献：

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（编辑王秀玲）