微积分在经济中的应用——弹性分析

窦跃文

(天津市河东区职工大学 天津 300170)

数学学科是当今社会最为重要和最为基础的学科,它不仅为自然科学、工程技术以及社会科学提供了有力的工具,而且随着现代科学技术和社会的发展,不断产生新的高科技,成为现代经济技术的关键部分。微积分作为数学的一个分支,在经济科学、管理科学中也有着广泛的应用,随着计算机技术及其它高科技的普及和发展,它在经济及其管理中的重要性日渐突出,并且越来越多的渗透到经济领域。

经济学应用数学有客观基础。经济学研究的对象是人与人之间通过“物的交换”是有量化规则的，经济学基本范畴如需求、供给、价格等是量化的概念，经济学所揭示的规律性往往需要数量的说明。弹性分析就是研究价格变化对市场需求量和供给量的影响程度。

一、弹性的概念

函数的改变量与函数的变化率实际上是绝对改变量与绝对变化率，仅仅研究这些还是不够，在市场上，假若一千克大米由2元上涨1元和一千克黄金由100000元上涨100元，哪一种商品价格的波动对你震动比较大，显然是大米，虽然大米每千克单位价格的改变量是1，黄金每千克单位的改变量是100，但这两个量是绝对改变量，实际上大米的涨幅是1/2=50%，黄金的涨幅是100/100000=0.1%，当然大米的涨幅对我们振动比较大。这里就涉及到相对改变量，同样对一个函数y=f(x)，当自变量x相对改变时，因变量y的相对改变受到什么影响。于是我们引入弹性这个概念。

弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变化时,所做出反应的强弱程度。即弹性是用来描述一个量对另一个量的相对变化率的一个量。

从定义可以看出函数f(x)的弹性是函数的相对该变量与自变量的相对改变量比值的极限，它是函数的相对变化率，或解释成当自变量变化百分之一时函数变化的百分数。弹性是一个无量纲的数值，这一数值与计量单位无关。

例1.当a、b、α为常数时，求下列函数的弹性函数及在点x=1处的点弹性，并阐述其经济意义。

二、常用弹性函数

弹性分析(elasticity analysis)和边际分析(marginal analysis)是经济学上研究自变量和因变量间定量变动关系的两种基本手段。边际分析是分析变量间绝对变动关系；而弹性分析是分析变量间相对变动关系，包括需求弹性、供给弹性、广告弹性等。

(一)需求弹性

需求弹性是衡量一种商品的需求对于其影响因素变化做出反应的敏感程度。即需求弹性是需求的一种影响因素(自变量)的值每变动百分之一所引起的需求量变化的百分比。需求量是指在一定条件下，消费者有支付能力并愿意购买的商品量。消费者对某种商品的需求量是由多种因素决定的，商品价格是影响需求量的一个主要因素，但还有许多其它因素，如消费者的收入增减、其它代用品的价格、社会消费水平等都会影响需求量。按影响需求的因素主要分为需求价格弹性(demand elasticity)、需求交叉弹性(cross-price elasticity)、需求收入弹性(income elasticity)。

1.需求价格弹性

(1)缺乏弹性(inelasticity)Edp<1：需求量的变动率小于价格的变动率；

(2)富有弹性(elasticity)Edp >1；

(3)单一弹性(unitary elasticity)Edp = 1，特殊商品，计划支出：在该商品上的支出不变；

(4)完全弹性(perfect elasticity)Edp→∞，特殊情况，完全竞争企业需求曲线、计划价格；

(5)完全无弹性(perfect inelasticity)Edp=0，特殊情况，价格的变动对需求量完全无影响绝对必需第三方支付。

决定需求价格的因素有：该商品的必需程度(necessity)，替代品的可获性(availability of substitute goods)，在消费总支出中占有比例的大小(rate)，考察的时间长短(time)，商品定义的宽窄(scope)。不同国家、不同时期、不同地区不同人的需求价格弹性不相同，不能简单的照搬。

(2)Edp|p = 4= -0.92，Edp|p = 4.35= -1，Edp|p = 5= -1.15。

2.需求收入弹性

3.需求交叉价格弹性

EYX>0：替代品，两种商品可以相合替代，弹性越大，替代性越强；

EYX<0：互补品，弹性绝对值越大，互补性越强；

EYX=0：独立品。

交叉弹性的应用于判断商品间的替代、互补关系，分析替代品、互补品价格变动对本产品的需求影响。

(二)供给弹性

(三)广告弹性

需求的广告弹性 = 需求量变动的百分比 / 广告支出变动的百分比。广告弹性系数越大，销售量对广告预算变化的反应就越敏感。

在商品经济中，商品经营者关心的是提价(Δp>0)或降价(Δp<0)对总收益的影响。下面利用需求价格弹性的概念，可以得出价格变动如何影响销售收入的结论，即需求价格弹性对企业收入的影响。企业的销售收入与商品价格和销售量相关：R(Q)= P·Q，

dR(Q)= QdP + PdQ= QdP(1-Edp)，

dR(Q)/dP=Q(1-Edp)。

∴当Edp>1(称为高弹性)时,dR(Q)/dP<0,企业收入与价格变动方向相反，此时,降价(Δp<0)将使收益增加，提价(Δp>0)将使收益减少；

当Edp<1(称为低弹性)时，dR(Q)/dP>0，企业收入与价格变动方向相同，此时,降价(Δp<0)将使收益减少，提价(Δp>0)将使收益增加；

当Edp=1(称为单位弹性)时,dR(Q)/dP=0，此时,无论是降价还是提价均对收益没有明显的影响。

故：当商品的需求价格弹性不同时，企业的定价策略也不一样。

由此对例2而言当p=4时，|Edp|<1(低弹性),此时降价使收益减少，提价使收益增加；当p=4.35时,|Edp|=1(单位弹性),此时降价、提价对收益没有明显的影响；当p=5时,|Edp|>1(高弹性),此时降价使收益增加，提价使收益减少。

弹性分析为经济管理决策提供数学模型支撑和科学依据，在很大程度上影响企业管理者对市场的分析和决策，为企业增创收益。