基于QR分解的线性方程组Ax=b的最小二乘解

陈 佳 余 苗 陶 婷

(成都理工大学管理科学学院 四川 成都 610059)

如今许多应用问题都需要大规模的科学计算和数据处理，这些问题许多时候直接或间接的需要求解如下线性方程组：

Ax=b

用LU分解比Gauss消去法直接求解节省大量计算。但在许多情况下此方程组没有解，则退而求其次求其最小二乘解。矩阵的QR分解对此有着实际意义的应用。

一、矩阵QR分解的三种方法[1][2][3]

定义1 设A∈Cn×n，如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵R，使得A=QR，则称此分解为A的QR分解(或酉三角分解)。当A∈Rn×n时，称为A的正交三角分解。

(一)Gram-Schmidt正交化方法QR分解

定理1 任何实(复)n阶非奇异矩阵可分解为正交(酉)矩阵Q和实(复)的非奇异上三角矩阵R的乘积，且A=QR分解唯一。

证明：存在性 矩阵A的列向量线性无关，写为α1，α2…αn，将其正交规范化为q1，q2…qn。令Q=(q1q2…qn)为正交(酉)矩阵。

(二)Givens变换法QR分解[4]

定理2 任意n阶非奇异矩阵A=(aij)可通过左连乘有限个初等旋转矩阵化为上三角矩阵。

由上可知，A=(Tn-1,n…T12)-1A(n-1)，令Q=(Tn-1,n…T12)-1，因旋转矩阵Tij为正交矩阵，所以Q是正交矩阵，R=A(n-1)则A=QR是矩阵A的QR分解。

(三)Householder变换法QR分解

定义3 设单位列向量ω∈Cn，称矩阵：H=I-2ωωH为Householder矩阵，称由Householder矩阵确定的线性变换为Householder变换。

定理3 Householder变换可使任意非零向量ξ变成与给定单位向量γ同方向的向量η

二、基于QR分解的Ax=b最小二乘解[6]

QR分解可用于解线性方程组Ax=b的最小二乘解，设A=QR，则原方程组化为QRx=b，由于Q是正交矩阵，则求上述方程组最小二乘解就是求Rx=QTb的最小二乘解。