高中数学函数解题思路多元化的方法

2020-09-01王光灿

名师在线 2020年23期

关键词：数形思路分类

王光灿

（福建省宁德市高级中学，福建宁德 352100）

引言

在当前高中数学教学中，教师应当转变学生的单一解题思维，引导学生探究多元化的解题思路，以充分理解和灵活运用数学函数知识。

一、引导学生应用数形结合思想开展函数问题的分析

教师可以引导学生从数形结合角度，创新学生的函数解题思维，使其将抽象的函数概念转为形象的图形，从而有效地提升高中数学函数解题的效率和质量。

以下面这道高中数学函数题目为例：设奇函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)且在(0，+∞)上单调递增，f(1)＝0，则不等式的解集是什么？

分析：在解答这道函数题目时，教师应该引导学生运用数形结合解题思维，结合相关的函数图像来理解函数问题。这样，学生可以有效地找到解题的突破口，以尽快地形成函数解题思路[1]。首先，根据这道函数例题，教师可以提醒学生从题目中的已知条件来找到数形结合的点。比如，从题目“奇函数f(x)的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）且在（0，+∞）上单调递增，f(1)＝0”这些描述中，学生可以画出y=f(x)的图像（见图1）。

图1

由上述图像可知，当x∈（-1，0）∪（1，+∞）时f(x)＞0，当x∈（-∞，-1）∪（0，1）时f(x)＜0。然后，学生可以结合具体的函数图像，回归到函数的计算问题。比如，根据题目中的问题，不等式则有最后，学生可以根据具体的不等式，求出不等式的解集。

二、指导学生运用创新的构造解题思路解答数学函数问题

在众多的解题思路中，构造思维方法也是一种很好的数学函数解题思路。它是在原有函数题目基础之下，进行条件或者结论的假设，以利用数学函数题目中的相关信息，构造出满足函数题目所需的条件和结论，促使复杂的函数问题简单化，从而找到函数问题的解答方法[2]。

以下面这道数学函数问题为例：f(x)是定义在R 上的偶函数，当x＜0 时，f(x)+xf'(x＜0)，且f(-4)=0，则不等式xf'(x＞0)的解集是。

分析：从函数题目中，教师可以引导学生观察和寻找其中存在的函数关系。比如，题目中的f(x)+xf'(x＜0)，出现了“+”的符号，那么教师可以引导学生从构造的思维角度，优先构造出F(x)=xf(x)的函数关系。这样可以将复杂的函数问题简单化。然后，教师引导学生基于这个构造关系，快速利用函数的单调性、奇偶性解答问题。比如，从构造的F(x)=xf(x)出发，继而构造F'(x)=f(x)+xf'(x)，那么，当x＜0 时，f(x)+xf'(x＜0），可以推出F'(x)＜0，F(x)在（-∞，0）上是单调递减，又因为f(x)为偶函数，所以F(x)为奇函数。最后，根据f(-4)=0 可得F(-4)=0，则xf'(x＞0）的解集应为（-∞，-4）∪（0，4）。教师引导学生利用构造解题思路，可以有效地转化复杂的函数问题，促使学生对题目进行大胆假设，从而找到解题的方法。

三、重视学生的转化思维培养，从划归角度解答函数问题

转化思维也是高中数学的一种重要解题思路。它可以使部分函数问题简单化，同时也有助于学生产生丰富的联想，进而将抽象的函数问题进行一一拆解[3]。比如，当学生拿到一道函数问题时，教师可以先引导学生应用转化思维方法将函数问题简单化；然后利用已经学习过的函数概念研究新函数问题的规律及特点。这有利于降低问题的难度，进而快速地解答出函数问题的答案。

分析：对于这道函数题目，学生可以运用等价转化思维，将函数转化为yx2-ax+y-b=0。然后，令△=a2-4y（y-b）≥0，即4y2-4by-a2≤0，已知题目中的不等式4y2-4by-a2≤0的解集为[-1,4]，那么-1 和4 就是关于y的方程4y2-4by-a2的两个根，那么将这两个根代入方程，可以得出a=±4，b=3。在整个解答过程中，这道题目既涉及了函数，又融入了不等式、方程等知识。学生可以运用等价转化的思想，将函数、不等式与方程一步步地转化，从而将复杂的函数问题转化为简单的函数分析，进而求得答案。

四、科学运用分类讨论解题思路进行高中数学函数问题的解答

在解答高中数学函数问题时，学生也可以运用分类讨论思维进行函数问题的解答。学生应该运用如下分类讨论思维进行解题。首先，学生拿到一道函数问题时，必须明确需讨论的对象及取值范围；其次，要正确选择好分类的标准，才能进行分类讨论；再次，针对问题的分类进行逐类讨论；最后，将讨论的结果进行归纳，并进行总结与分析。学生只有严格按照分类讨论的思考步骤，一步步对函数问题进行分类讨论，才能有序、有效地解答出函数问题的答案。

以下面分段函数问题为例：已知函数f(x)=|x-3|+|x+1|，请作出函数f(x)的图像。

分析：对于这道分段函数问题，教师可引导学生尝试利用分类讨论的解题思路，对函数进行分区间讨论。首先，学生需要研究的是已知函数f(x)=|x-3|+|x+1|。其次，学生可以根据x的取值变化，对函数进行分段。比如，当x≤-1时，f(x)=-2x+2；当-1 ＜x≤3 时，f(x)=4；当x＞3 时，f(x)=2x-2。最后，学生根据讨论的结果，可以画出相关的函数图像（见图2）。