非均匀应力场下圆形隧洞围岩弹性应力分析

2020-08-29陈登国高召宁李顺顺

科学技术与工程 2020年21期

陈登国，高召宁，李顺顺

(安徽理工大学能源与安全学院，淮南 232000)

随着隧洞工程不断地发展，各种复杂的地质构造影响着隧洞围岩的稳定性。在长期的理论和实践研究中，许多专家和学者认为在隧洞开挖或掘进后，围岩由原来平衡状态的三维应力状态转变为二维应力状态，围岩应力重新分布[1]。同时也使得围岩发生弹性和塑性变形，进一步引起隧洞围岩产生变形甚至破坏[2-3]。对于轴对称荷载隧洞围岩的分析，一些学者也做了研究。文献[4]根据双剪强度理论推导了均匀应力场下圆形隧洞围岩中的解析解，其结论与Mohr-Coulomb准则对比，更符合现场的工程实际；文献[5]根据数值模拟软件,对隧洞的设计与开挖过程进行了模拟验证。文献[6]基于俞茂宏统一强度理论和三线性应力应变软化模型计算了圆形洞室围岩的统一解析解。而在实际工程中，隧洞围岩荷载分布呈现非轴对称特征。文献[7]研究了不同侧压力系数情况下以及考虑围岩的软化和扩容条件对围岩的稳定性分析，并验证了其结果的正确性。文献[8]研究在不等压情况下塑性区分布的近似解，分析围岩的稳定性。文献[9]研究了非轴对称荷载滑动失稳破坏模型，分析了巷道岩体的整体稳定性。

因此，在已有研究成果的基础上，在围岩处于极限平衡状态条件下，分析了非均匀应力场下圆形隧洞围岩内弹性应力分布。由于侧压系数λ<1/3时，隧洞拱顶将出现拉应力，为防止隧洞围岩出现失稳状态，工程设计时应该尽量避免[10]。因此探讨1/3≤λ<1的范围对隧洞围岩稳定具有实际的工程意义，结合Drucker-Prager准则推导了非均匀应力场下圆形隧洞围岩内弹性区应力分布的解析解，分析不同主应力系数和侧压系数对隧洞围岩应力解的影响。

1 围岩变形特征研究

对于隧洞围岩的变形特征分析一直以来都被视为控制隧洞围岩稳定的关键因素。图1为隧洞围岩应力分布。

r0为隧洞的半径，m；p0为初始地应力，MPa；σθ为切向应力，MPa；σr为径向应力，MPa，λ为侧压系数

隧洞开挖前，岩体处于三向压应力下的平衡原始岩体弹性状态，如果侧压力系数在λ=1情况下，此时隧洞围岩表面处(r=r0)径向应力σr为0，切向应力σθ为原岩应力的2倍。由于应力与r/r0成正比，随着r/r0的减小，σr与σθ均迅速的接近原岩应力p0[11]。

假设深埋隧洞的水平荷载对称于竖轴，竖向应力对称于横轴；竖向为p0、横向为λp0。由于结构本身对称，故可以通过叠加原理解决，将荷载分解为两部分叠加，如图2所示。

pi为初始支护阻力，MPa

2 隧洞围岩弹塑性分析

2.1 基本假设和解题条件

假设如下：①圆形隧洞无限长；②原岩为理想弹塑性体；③原岩为不可压缩材料；④隧洞埋深大于20倍隧洞半径。

以Drucker-Prager系列准则作为隧洞围岩弹塑性屈服条件，结合非均匀应力场分析隧洞围岩的弹性应力分布。Drucker-Prager准则是在Mises屈服准则的基础上，对岩土材料考虑平均应力I1。其屈服函数为[12]

(1)

I1=σθ+σz+σr

(2)

J2=[(σθ-σz)2+(σz-σr)2+

(σr-σθ)2]/6

(3)

在隧洞周边围岩中，由于隧洞断面上的径向应力σr、切向应力σθ和隧洞轴向应力σz两两正交，且一般σθ最大、σr最小，主应力次序为σθ≥σz≥σr，于是可认为3个主应力的大小为σ1=σθ，σ2=

σz，σ3=σr。在实际工程中通常中间主应力系数b与中主应力σ2与最大主应力σ1和最小主应力σ3的关系则有：

(4)

由式(4)得：

σz=bσθ+(1-b)σr

(5)

将式(5)代入式(2)、式(3)中，将其转化为σθ+σr、σθ-σr和b的关系：

(6)

a2(σθ-σr)

(7)

(a-bα-α)σθ-(a-bα+2α)σr-k=0

(8)

整理可得到的D-P系列准则表达式为

(9)

用统一屈服方程表示为

σθ=Mσr+N

(10)

2.2 弹性区应力

根据围岩的受力分布特点可知，将图2围岩荷载看成两部分的叠加：①四周均布压力(1+λ)p0/2；②左右均匀分布拉力(λ-1)p0/2和上下两边均匀分布压力(1-λ)p0/2。对上述两部分求解然后进行叠加，可得到非均匀应力分布下的应力分量。

对于四周均布压力作用下，满足静力平衡方程式：

(11)

将式(10)代入式(11)求得微分方程：

(12)

式中：σr1为第一部分径向应力；C为积分常数，由边界条件确定。

(13)

由式(10)、式(12)可得隧洞围岩应力：

(14)

式(14)中：σθ1为第一部分切向应力。

假设在第二部分左右两边均布拉力(λ-1)p0/2和上下两边均布压力(1-λ)p0/2作用下，两侧受压，两侧受拉应力场。在r→∞时，外边界条件为

(15)

式(15)中：τrθ为剪应力。

而在圆环边界处的条件σr|r=r0=0,τrθ|r=r0=0,假设应力函数为

φ=f(r)cos2θ

(16)

由边界条件并结合半逆解和双协调方程可以解得[14]：

(17)

式(17)中：σr2为第二部分径向应力；σθ2为第二部分切向应力。

将式(14)、式(17)两部分应力分量叠加，得到非均匀应力作用下隧洞围岩全应力解，如式(18)所示：

(18)

由文献[9]可知，切尔西(Kirsch)解。式(19)所示：

(19)

3 算例分析

为了进一步研究非均匀应力场对隧洞围岩稳定性分析的影响，以云南高黎贡山隧洞为背景，其所处围岩各参数如下：r0约为3.5 m，p0约为15 MPa，pi=1.8 MPa，c为2 MPa，内摩擦角φ为30°。将上述参数代入式(18)、式(19)计算。

(1)当λ=1时，代入式(17)，计算可得：

(20)

式(20)与文献[15]轴对称下的Drucker-Prager准则所计算的结果一致。

(2)当λ≠1，r=r0时，初始支护阻力为pi，隧洞周边的应力分布σr=pi。

为了研究中间主应力系数b与θ、侧压系数λ三者之间的关系，现取中间主应力系数b分别为0.2、0.5、0.8，结合式(18)可得到中间主应力系数b与θ、λ之间的关系，如图3所示。由图3可知，在(330°，30°)和(150°，210°)的范围内，随着中间主应力系数b的增大，对应的侧压系数范围减小。而且，中间主应力系数和侧压系数两者之间的关系相互影响，因此在两者间的协调作用下也能够更好地反映出隧洞围岩应力的大小。隧洞围岩的在侧压系数以及中间主应力系数影响下，可以选择有效且合理的支护措施，避免塌方的出现。

图3 中间主应力系数b与θ、λ之间的关系

为了研究σθ、θ、λ三者之间的关系，中间主应力系数b分别取为0.2、0.5、0.8，结合式(18)和式(19)可知可得到σθ与θ及λ三者之间的关系，当侧压系数λ-1时，可以得到关于隧洞围岩表面处切向应力σθ与θ、λ之间的关系，如图4所示。由图4可知：对于考虑中间主应力系数b不同时，在相同的θ及λ下，切向应力σθ会随着b的增大而增大，但总体增加的幅度较小，而且切尔西解的曲面始终大于不同中间主应力系数b对应下的曲面解。当θ在一定范围变化时，不同中间主应力系数b对应的曲面中σθ随着侧压系数λ不断增大而增大，σθ逐渐由负值变成正值。

图4 隧洞围岩表面处σθ与θ及λ之间的关系

为了分析当θ= 90°时垂直应力σθ与θ及λ三者之间的关系，中间主应力系数b分别取为0.2、0.5、0.8，结合式(18)、式(19)可得到σθ与θ及λ三者之间的关系，如图5所示。由图5可知，在相同的侧压系数下，切尔西解曲面随着距隧洞中心距离r增大σθ缓慢减小，在距隧洞中心距离r一定时，σθ随着侧压系数λ的变化较小。而对于3个不同中间主应力系数b的曲面，从整个曲面来看中间主应力系数越大，对应曲面σθ越小，而且总体的变化规律相同。在隧洞围岩表面处σθ最大，随着距隧洞中心距离r的变大，σθ减小，最终σθ逐渐趋于原岩应力。由图5可知，切尔西解曲面与其他3组曲面有交线，在实际工程中可通过曲面之间的交线，判断λ与σθ之间的关系找到最优解。根据式(18)计算出切向正应力σθ，得到更加合理经济的结果。

图5 θ=90°时，σθ与r、λ之间的关系

4 隧洞围岩不同侧压系数演化特征数值分析

为了能够加准确地分析侧压系数λ和中间主应力系数b对隧洞围岩的影响，采用FLAC3D数值模拟软件结合Drucker-Prager模型对隧洞围岩应力演化特征进行数值模拟研究。模型尺寸沿X、Y、Z方向为50 m×30 m×50 m，其中X为隧洞断面的水平方向，Y为沿隧洞轴向的水平方向，Z为隧洞垂直方向，为了便于数值模拟的研究，结合文献[16]取b=0.5。边界条件设置上表面为自由表面，其余边界采用法向固定约束。当模型取的足够大，超过隧洞半径的10倍以上时，边界效应倍消除[17]，建立了如图6所示模型。

图6 数值计算模型

由图7可知，对不同的侧压系进行数值模拟，分析不同侧压系数对隧洞围岩垂直应力的影响。同时在Drucker-Prager准则的基础上，考虑了不同的中间主应力系数b对隧洞围岩的影响。当中间主应力系数b不取定值时，由上述图3可知，b的大小与侧压系数的关系，当b增大时，侧压系数对应的范围也会有所减小。由7图可知，分别对不同的侧压系数进行了数值模拟，当λ较小时，对于隧洞的拱顶和底部，所产生的应力远小于原岩应力，且随着λ的增大，隧洞的拱顶和底部的应力也会明显的增加。但对于隧洞的帮部，则是随着λ的增大，隧洞帮部应力逐渐的减小。当λ=0.4时隧洞两帮表面围岩的切向应力约为原岩应力的2.43倍，应力较大且较为集中，对隧洞的稳定性极为不利。当侧压系数λ不断地增大时切向应力逐渐减小，最终在λ=1时，可看出切向应力恢复到约为原岩应力的2倍，符合理论分析的结果。分析可知，若中间主应力系数b不取定值时，由b和λ之间的线性关系，结合隧洞的帮部、底部和拱顶之间的变化趋势，可以选择合理的中间主应力系数b的大小确定隧洞围岩的应力，使得支护的效果更好，更加经济。

图7 θ= 90°时不同侧压系数应力分布

由图8可知，分析了不同侧压系数下的最大主应力。从图8可以看出，隧洞开挖后在不同的侧压系数下围岩的切向应力发生局部集中，在隧洞两帮集中比较明显。随着侧压系数不断地增大，隧洞围岩在两帮集中的应力不断的减小，隧洞周边受到的应力更加均匀。当侧压系数λ=1时，隧洞表面的围岩应力接近原岩应力的2倍。随着距隧洞中心的距离不断增大，切向应力最终趋于了原岩应力。λ=1时，由图8最大主应力云图和图5的应力曲面图可知，当中间主应力系数b=0.5时，在隧洞围岩表面处二者的切向应力曲面图所得到的结果基本一致，约为原岩应力的2倍。