施密特正交化过程的教育形态

赵甫荣

(绵阳师范学院，四川绵阳 621000)

0 引言

数学教材由于篇幅限制，都是定义，定理，证明，例题四部曲，其特点是数学内容丰富，编排精炼.正如张奠宙指出[1-2]：数学的学术形态通常表现为冰冷的美丽，而数学知识的教育形态正是一种火热的思考. 传统高等代数教学中，先简单介绍标准正交基的优点，直接给出施密特正交化过程，然后证明，紧接着给出两个例子，介绍如何利用公式得到标准正交基. 这样做逻辑上没有问题，但是不符合学生的认知规律，不利于培养学生的数学直觉.对于一流大学数学专业的学生或许能够轻易跨过抽象难关， 但是对地方院校数学专业的学生来说，这样讲，感觉像“空中楼阁”，从天上掉下来的.如何在地方师范院校讲施密特正交化过程？ 曹广福在其专著中概括弗赖登塔尔数学教育的两个基本观点[2]：(1) 数学教育应该结合学生的生活体验与数学现实； (2) 数学教育是数学的“再创造”. 张奠宙在赖登塔尔的数学教育理论基础上提出：数学教学的目标之一，是要把数学知识的学术形态转化为教育形态[1,3-5,6].在地方院校，数学课的教学重点之一是讲清楚定理和概念的发现过程，这样有利于学生理解.正如曹广福指出[2]“数学定理和概念不是凭空而来的，需要探索其发现过程.定理和概念的发现过程即数学的再创造，往往和定理本身一样重要，更能体现数学的思想. 人们未必可以从史料中将背景挖掘出来，但可以通过合情合理的推理，阐述这些理论的深刻内涵”.在上述理论指导下，基于地方院校数学专业学生的数学现实，笔者重新设计关于施密特正交化过程的教学. 并通过实践，将教学效果与传统教学效果相比较.

下面根据在地方院校的实践结果，对比传统教学和基于上述理论设计的教学结果.在第一个年级，笔者按照传统方式教学.

1 传统教学

1.1 传统教学是如下讲授的

复习标准正交基的优点：容易计算坐标；方便计算两个向量的内积.直接给出定理.

定理[9](施密特正交化过程)α1,α2,α3,...,αn欧几里得空间V的一组基，

则β1，β2，β3，...，βn是欧式空间V的正交基.

然后给作为重点出严格证明，再给出类似如下一个例题.

例1[9]在欧几里得空间3中，设

利用施密特正交化过程，把α1，α2，α3变成单位正交的向量组， 给出严格的解答. 最后留一个和例题类似的作业作为巩固.

学生能做简单的习题.但是前一周星期五上完课，下周星期一上课时，调查一个问题“谁记住施密特正交化过程这个公式？”，结果中间前两排18名同学，只有3名同学能够记住公式.

1.2 新的教学过程

基于毛卫华, 张胜祥, 万安华[8]的启发，探索施密特正交化过程的教学形态.

|A|2|α1|2|α2|2|α3|2.

然后重点讲授(施密特正交化过程)的几何直观背景.在欧几里得空间3中两个三维向量α,β，其内积(α,β)=|α|.|β|cosθ，讲清楚其几何意义.

表示α在β方向投影的长度；

表示α在β方向的投影向量；

α1，α2，α3，...，αn是欧式空间n的一组基，

β1=α1,

强调右边几何意义，通过几何直观理解β2与β1垂直，

强调右边的几何意义，通过几何直观理解β3与β1垂直，β3与β2垂直. 再补上后面表达式.

这个发现过程就是此施密特正交化过程，纯其自然将其作为定理.再给出如下例题，

例2在欧几里得空间3中，设

(a)把A分解成A=CD，其中C是列向量两两互相垂直的向量，D是主对角线元位1的上三角矩阵.

(b)把A分解成A=TB，其中T是列向量两两互相垂直， 并且长度为1的向量，B是主对角线为正的上三角矩阵.

解 (a)设A的3个列向量为α1，α2，α3， 可得

那么

取

C=(β1,β2,β3)，

即可.

(b)由(a)可知

通过此例告诉学生，为什么需要不同的标准正交基.

再给出引例的证明.

证若|A|=0，上式成立. 若|A|≠0 ，将α1，α2，α3正交化，

可得

那么

由于β1,β2,β3互相垂直，可得

|α1|2=|β1|2，|α2|2≥|β2|2，|α3|2≥|β3|2;

|A|2=|A′A|=|β1|2|β2|2|β3|2|α1|2|α2|2|α3|2.

最后才给出定理的严格证明. 同样是前一周星期五上完课，下周星期一上课调查同样的问题，结果中央前两排18名同学，有7名同学立马举手表示记得公式，难能可贵的是有9名同学用了大约1分钟时间自己推导出公式. 课堂气氛也很活跃. 有一次作者替另外一位老师上非数学专业学生的《线性代数》，刚好讲到这一知识点，按照此方式讲，课堂气氛非常活跃，同学们甚至感觉惊喜.

2 总结

大一专业课，抢前排座位的同学都是学习努力的同学.按照传统教学，之所以记住的同学少，是因为学生对此公式没有形成自己的认识，只能死记硬背公式，做习题时套公式. 传统数学教学注重证明，注重逻辑的严密.证明固然重要，但写进教材的证明是经过数学家和数学教育家的精心组织和安排的，把数学家解决问题的思维过程，分析问题和思想方法淹没在知识里，表现为学术形态. 对学生来说非常枯燥，感觉像空中楼阁. 善于思考的学生会问：已经有如下最简单，最直观的标准正交基了，

ε1=(1,0,0)′，,ε2=(0,1,0)′，,ε3=(0,0,1)′

为什么还要找各式各样的标准正交基？没有清楚回答，抹杀学生的兴趣和求知欲.

按照第二教学设计进行教学过程，重点是介绍此公式的几何直观背景，即在地方院校数学专业学生的数学现实基础之上，重走此定理的发现过程. 在这类学校，直接在Rn上讲相关理论，有很大一部分学生学起来很吃力，但是先在R3维空间上讲清楚之后，再在n维空间上讲相关理论，他们理解就没有难度了.也就是将施密特正交化过程的学术形态转化成了其教学形态.这样的教学设计无声地告诉学生此知识点是如何产生的，为什么重要，解决了什么问题.

按照后者进行教学，效果好的原因是按照数学教学形态进行教学，有利于提高和培养学生的数学直觉及素养，更加重要的是对于地方师范院校数学专业这些普通的学生，感觉数学概念，定理和公式原来离自己那么近，更有信心和动力学好数学.这样的教学让普通的学生觉得自己能学数学，通过日积月累的进步给学生信心，让同学们觉得自己能学好数学.教材呈现的是数学的学术形态， 教师的责任之一是把数学的学术形态转换成数学的教育形态[1]. 数学的教育形态会根据学生的数学现实而变化，不同教师设计的教学形态也不一样，这就是数学教育的多样性.