一种基于半圆的近似核FFT优化算法

周小宁，王立权，朱伟华，闫宏雁，张 宇

(上海机电工程研究所，上海 201109)

0 引 言

瞬时测频技术是射频目标回波模拟器系统中的一项关键技术，测频准确性会直接影响目标运动速度模拟的精确度。随着测频带宽、实时性以及多信号检测等要求的不断提高，对测频技术提出了更高的要求。传统模拟瞬时测频技术的测频带宽大，但测频精度有限；常规数字信道化测频技术测频精度高，但系统过于复杂且不具备多信号处理能力[1-3]；单比特瞬时测频技术采用单比特(1～4 bit)模数转换器(ADC)和近似核算法满足大带宽、高实时性测频要求，但采样位数的减少以及近似核的量化会降低系统的无杂散动态范围(SFDR)，影响弱信号的频率检测准确性[4-5]，如何提高测频系统的动态性能是单比特测频中的研究重点。

本文在ADC位数和近似核阶数之间约束关系的基础上，针对8阶常规近似核因量化噪声大而影响动态性能的问题，提出一种基于半圆的近似核快速傅里叶变换(FFT)优化算法，通过理论分析和仿真验证了算法的有效性和优越性。

1 近似核FFT算法原理

近似核FFT算法是由常规FFT旋转因子量化而成。设序列x(n)长度为N，且N=2L，L为整数。由于L为偶数，可以将x(n)按奇偶序列分为2组，则X(k)的前一部分可表示为：

(1)

图1 基于正方形的常规近似核量化方法

以图1所示区域1为例，旋转因子与区间的对应关系如式(2)所示：

(2)

式中：M为旋转因子量化阶数；2N为正方形的边长。

ADC量化和近似核算法共同决定了系统的噪声水平，为此需要对两者的约束关系展开讨论。ADC位数与近似核阶数之间的约束关系为[6-7]：

(3)

式中：M为近似核量化阶数；b为ADC量化位数。

式(3)给出了理想情况下ADC位数和近似核阶数满足的约束关系，为验证该理论关系，开展仿真得到不同ADC位数和近似核阶数下的SFDR，结果如表1所示。

表1 不同ADC位数和近似核下的SFDR

由表1可知，固定ADC位数，以2 bit采样为例，近似核阶数从4位增加到8位，SFDR提高超过7 dB，当从8位持续增加到64位时，SFDR只提高了2 dB；固定近似核阶数，以16阶近似核为例，采样位数从1 bit增加到2 bit，SFDR提高超过8 dB，而从2 bit增加到3 bit，SFDR几乎没有提高。为此，本文选择2位ADC和8阶近似核作为研究条件。

2 一种基于半圆的近似核优化算法

2.1 常规近似核算法的不足

基于正方形的常规近似核算法选取外切于圆的正方形，在正方形上等间隔选取一定的点作为核函数的量化值。8阶常规近似核算法如图2所示。

图2 基于正方形的常规8阶近似核

观察图2可知，基于正方形的常规近似核为了避免乘法运算选取位于外切单位圆的正方形顶点作为旋转因子量化值，主要存在正方形拐角处的点与单位圆契合度不高以及部分旋转因子选取不合理等问题，引起了一定的量化噪声，降低了系统的动态范围。

对8阶常规近似核算法进行仿真，结果如图3所示，其中图3(a)中两信号幅度差为10 dB，图3(b)中两信号幅度差为13 dB。

由图3可知，当输入双音信号的幅度差为10 dB时，弱信号谱线幅值位于强信号的最大谐波分量之上，在频率检测时弱信号可以被检测出来。当输入双音信号的幅度差为13 dB时，弱信号淹没于强信号的谐波中，导致弱信号无法被检测出来。可见，由于8阶正方形近似核量化噪声过大，降低了系统动态范围，不利于弱信号的检测。因此，需要对8阶基于正方形的常规近似核进行优化。

2.2 近似核FFT优化算法

近似核FFT算法的核心是将蝶形单元中的旋转因子量化为与2的整数次幂相关的复数，利用移位和加法运算替代乘法运算进而降低运算量，式(4)为FFT蝶形单位的计算表达式：

(4)

图3 常规近似核下双音动态范围对比图

图4 基于半圆的近似核优化算法

以第四象限为例，旋转因子量化值的选取方法为：

(5)

2.3 算法复杂性

为了简化运算，假设蝶形单元中旋转因子在近似核量化区间内服从均匀分布。由此得到常规近似核和近似核优化算法由量化引起的加法运算次数分别为：

(6)

同理，在基本蝶形单元中，输入序列的交叉合并需要2次复数加法运算，即4次实数加法运算，则每个阶段共有2N次加法运算，由此可得常规近似核和近似核优化算法由序列交叉合并引起的加法运算次数分别为：

S12=S22=2Nlog2N

(7)

进而得到2种近似核算法中总的加法运算次数分别为：

(8)

由式(8)可知，与常规近似核算法相比，近似核优化算法的加法运算量增加了约10%，即近似核优化前后运算量规模相当。在工程实现时，这对测频的实时性基本不会造成影响。

3 算法性能验证

3.1 动态性能理论分析

近似核的一般表达形式如下：

(9)

(10)

对上述近似核进行傅里叶级数展开，有：

(11)

(12)

将式(9)代入式(12)得：

(13)

式中：ni为落入编号为i的近似核量化区间内的采样点数，有：

n1+n2+…+nM=N

(14)

对式(13)做进一步推导：

(15)

由ck表达式可知，旋转因子的模值r和近似核阶数M是影响谐波分量的直接因素。由式(15)计算可得，基于半圆的8阶高精度近似核优化算法相比常规近似核算法，SFDR提高约4.5 dB。

3.2 仿真验证

经过优化后的近似核量化噪声功率已经大幅降低，但还需要通过仿真进一步验证。图5(a)中采用8阶基于正方形的常规近似核，图5(b)中采用8阶基于半圆的高精度优化近似核。

图5 两种近似核下双音信号频谱对比

从图5中可以看出，在输入双音信号幅度范围均为13 dB时，由于谐波的影响，采用基于正方形的常规近似核无法检测出f2；而优化近似核能够有效减弱谐波对弱信号的影响，f2可以被检测出来。结果表明，优化后的近似核算法有效提高了SFDR，但具体提高多少还有待分析。为此，对不同噪声水平下的近似核动态性能展开仿真，结果如图6所示。

图6 2种近似核下SFDR性能对比

由仿真结果可知，相较于常规近似核算法，近似核优化算法对系统的SFDR有明显的提高，在信噪比为10 dB附近最大提升达到6 dB。结合理论推导，从整体来看，在信噪比为0～30 dB的范围内，与常规近似核相比，近似核优化算法的SFDR提高至少达4.8 dB，在加法运算量增加10%的情况下SFDR提高了约35%。

4 结束语

本文介绍了单比特测频中近似核FFT算法原理，分析了ADC位数和近似核阶数之间的约束关系，并选取2位ADC和8阶近似核为研究条件。针对8阶常规近似核算法存在设计不合理和量化噪声大的问题，提出了一种基于半圆的近似核FFT算法。理论推导和仿真表明，本算法在增加约10%加法运算量的前提下，系统的双音动态范围至少提高了4.5 dB。