地形强迫对偶极型阻塞形势的影响分析

刘 春，刘自牧，叶秣麟

(1. 高原与盆地暴雨旱涝灾害四川省重点实验室，成都 610072；2. 中国气象局气象干部培训学院/WMO区域培训中心，北京 100081；3.四川省内江市气象局，内江 641000；4.四川省气象局气象服务中心，成都 610072)

引言

在中高纬度西风带长波槽脊的发展演变过程中，当脊北伸时，其南部与南方暖空气的联系被冷空气所切断，同时脊的北部出现闭合环流，相对于周围大气形成暖高压中心， 即阻塞高压。由于阻塞形势，尤其是偶极型阻塞形势的建立、维持与破坏对周边地区天气气候具有十分重大的影响，特别是与一系列的异常天气(大范围持续干旱或阴雨)密切相关， 因此国内外气候学家已经对其形成机理和演变特征进行了大量的研究工作。

阻塞形势可视为一种生命史相对较长而结构持续稳定的大振幅孤立系统[1]，为此，Malguzzi和Malamotte—Rizzoli等[2-3]采用KDV(孤立波)动力学方法来阐述阻塞高压的形成、维持及崩溃。然而，在大气中观测到的阻塞高压和切断低压都不是波状流动，而是孤立涡动[4]。为此，Flierl[5]和Mc Willianms等[6-8]在正压流体中，利用强非线性作用，求出了孤立涡解。这种孤立涡解的流线分布，形成反对称的一对偶极子，两个极子相互非线性作用，导致整个偶极子向东或向西移动。孤立涡具有非频散特征，能较好的揭示阻塞的长时间维持。然而，只有当第一类Bessel函数的内解波数在很窄的范围内，才会有这类偶极型的孤立涡解。

一些研究表明，地形对阻塞的形成起着很重要的作用[9-12]，可以加强阻塞的强度和固定阻塞的位置[13]。Charney 等[14-15]通过多平衡态与西风带高低指数环流联系起来，并指出地形和热力强迫波引起的一类低指数达到平衡态是大气阻塞的原因。而最近的数值实验则表明：地形强迫可以加强阻塞的强度，增加阻塞发生的频率[16]。上述研究，既没有指出阻塞产生的原因，也没有很好的描述阻塞的结构。为此，本研究将从阻塞的几何结构着手，来阐述地形强迫对偶极型阻塞的加强作用。

罗德海[17]提出的非线性Shrödinger型包络Rossby孤立波理论，既能反映偶极型阻塞的孤立波特征，又能体现偶极型阻塞的衰减机制，较好的揭示了大气中偶极型阻塞的形成过程和衰退机制。为此，本研究采用类似的方法，通过对具有地形强迫的正压准地转涡度方程的简化，获得带有地形强迫的非线性Shrödinger方程。考虑到该非线性Shrödinger方程中具有微小扰动的地形强迫项，要严格求解一般是不可能的，但可采用Yan[18-19]所建立的基于分离变量法的直接微扰理论对其进行分析计算。在此基础上，结合孤立子的拓扑结构，讨论地形强迫对偶极型阻塞的作用。

本研究首先通过多尺度变换和摄动法将具有地形强迫的正压模式简化为带有扰动项的非线性Shrödinger方程；其次，分析无地形强迫下的偶极型阻塞形势的结构及其维持过程；最后，通过孤立子直接微扰理论，研究地形强迫对偶极型阻塞形势的影响，得到一些有意义的结果。

1 具有地形强迫的准地转模式

由于阻塞形势处于中高纬度西风带上，其运动过程符合准地转特征，因此，分析地形强迫对阻塞形势的影响，可以考虑具有地形效应的正压准地转涡度方程：

(1)

(2)

取流函数为

(3)

(4)

令

(5)

将(5)式带入(4)式，略去撇号“′”，得到无量纲的扰动流函数φ的方程：

(6)

将(3)式和(5)式带入边界条件(2)中，得到关于无量纲扰动流函数φ的边界条件：

(7)

下面，将以无量纲的扰动方程(6)和对应的边界条件(7)，讨论地形强迫对偶极型阻塞的影响。

2 地形强迫下的准地转Shrödinger方程

根据(6)式，要使地形强迫与非线性之间达到平衡，需满足以下条件：

h(x,y)=ε3ħ(x,y)

其中，ħ(x,y)=(ax2+by2)1/2为无量纲的地形函数。而在大尺度大气运动中，地形强迫往往比非线性效应更弱[10]，为此，设

h(x,y)=ε3+λħ(x,y)

(8)

其中，0<λ<1。

由于大气运动中，存在多时空尺度的运动。根据多尺度变换方法[20-21]，引入缓变坐标：

τ=εt,T=ε2t,X=εx,ξ=ε2x

由于ε≪1，则τ,T,X,ξ为缓变量。叶笃正和巢纪平[22]的研究结果表明：τ为大尺度特征时间，T为慢变外源强迫特征时间，X为长波特征尺度，ξ为超长波特征尺度。于是，作如下变换[20]：

(9)

根据摄动法，将对扰动流函数φ，按WKB(小参数)方法[23]展开：

φ=φ0(x,y,t,X,ξ,τ,T)+εφ1(x,y,t,X,ξ,τ,T)+ε2φ2(x,y,t,X,ξ,τ,T)+…

(10)

考虑到扰动流的边界条件(7)，有如下的扰动方程边界条件：

(11)

将(8)式、(9)式和(10)式带入到扰动方程(6)中，合并εi(i=0,1,2,…)项，可以得到关于ε的各阶问题。对于o(ε0)问题，满足如下方程：

o(ε0)：L(φ0)=0

(12)

其中

在边界条件(11)下，方程(12)有如下的解形式：

φ0=A(X,ξ,τ,T)φ0(y)eik(x-ct)+cc

(13)

其中，A为复振幅，c为纬向波速，k为纬向波数，cc表示其前项的共轭。关于φ0的特征问题如下：

对于o(ε)问题，满足如下方程：

(14)

将(13)式带入到(14)式中，得到

(15)

方程(15)左边的算子L是线性的，齐次形式具有形如eik(x-ct)的解，右边的非齐次项中含有eik(x-ct)，如果方程右边eik(x-ct)的系数不为零，方程(15)将会有共振解。为此，要消除久期项，即使eik(x-ct)的系数为零：

L(φ1)=ikA2G(y)e2ik(x-ct)

(16)

根据边界条件(11)，可知方程(16)的解具有如下形式：

φ1=B(X,ξ,τ,T)φ1(y)e2ik(x-ct)+cc

(17)

比较(16)式和(17)式，有

BLk(φ1)=ikA2G(y)

(18)

其中，

为此，根据(18)式，可将B取为如下形式：

B=A2

(19)

将(19)式带入到方程(8)中，得到关于φ1的特征方程如下：

对于o(ε2)问题，满足如下方程：

(20)

与o(ε)问题一样，通过消除共振项，得到ε2问题(20)的消除久期项的条件，即关于振幅A方程

(21)

其中

下面，将以准地转流的扰动振幅方程(21)为基础，分析偶极型阻塞流场的几何结构，以及地形强迫对偶极型阻塞结构的影响。

3 无地形强迫的Schrödinger孤立子的变化情况

(22)

在没有地形强迫的情况下(即γ=0)，方程(22)为标准的非线性Schrödinger方程(简称NLSE)，有如下形式的单孤立子解：

(23)

(24)

由于初始位相和初始位置仅能改变孤立子的中心位置，而不改变其振幅和结构。因此，考虑初始位置x0=0，初始位相θ0=0时的流场。利用欧拉公式重写流函数，并注意到cc为共轭，(24)式可简化为

(25)

(26)

上面的分析可以看出，即使没有地形强迫，仅在非线性作用下，西风流场就可形成偶极型阻塞结构。下面，将进一步考虑地形强迫对偶极型阻塞流场的影响。

4 地形强迫下的Schrödinger孤立子的变化情况

(27)

其初始条件为：

(28)

为了消除久期项，引入慢时间变量变换

∏=γT

(29)

在此变换下，有

将(27)、(28)和(29)式带入(22)式，并线性化，得到如下具有初始扰动的线性方程：

(30)

根据零阶近似解(23)，设满足方程(22)的A0具有以下形式的解

(31)

由方程(30)可知，

(32)

M,χ,ζ,ι是关于慢时间变量∏的函数，而M,χ与时间t无关。为此，根据(32)式，可知

(33)

其中

(34)

令

则方程(34)可以写成矩阵形式：

(35)

(36)

其中

由于孤立子解A0具有零边值条件

A0→0，当|z|→∞时

ρ=ρ*=±(k2+1),-∞

其中，k为实数，即算子方程(36)具有连续谱。对应的正交完备基{Φ}和{ψ}分别为：

其中

利用基函数{Φ}将W展开，得到：

(37)

其中，a+(T,k),a-(T,k)和aj(T)(j=1,2,3,4)为展开系数。将展开式(37)带入到方程(35)中，由于积分后各展开系数只是时间t的函数，为此，得到关于展开系数a+(T,k)，a-(T,k)和aj(T)(j=1,2,3,4)的常微分方程[25]。

(38)

解方程(38)，并考虑到(31)和(32)式，可得关于孤立子波幅M及速度χ随慢变时间∏变化的公式：

(39)

其中

在得到扰动对孤立子影响的关系式(38)后，将利用这一关系式来讨论地形强迫对偶极型阻塞形势的影响。

5 地形强迫对偶极型阻塞形势的影响

对于大地形而言，可以近似看作斜面坡，为此，对于无量纲的地形高度函数ћ(x,y)具有以下形式

ћ(x,y)=|b-ax|

(40)

其中，a>0，b>0，a为大地形山体斜率，b为大地形山体高度。在量纲变换公式(6)下，地形函数(40)将变为

ћ(x,y)=|b′-a′x|

(41)

将无量纲的地形函数(41)带入到(21)式中G(x)的表达式中，得到

G(x)=r|b′-a′x|

(42)

并考虑到矩阵次幂公式：

求(39)式，得到孤立子移动速度χ对于慢变时间∏的变化：

设χ的初始值为χ0，注意到χ关于慢变时间∏是定常的，则可得到孤立子波幅M对于慢变时间∏的变化：

(43)

由方程(43)可知，在地形强迫的作用下，孤子振幅在阻塞的维持阶段随慢时间增强的，在一定时间后，这种增强作用达到极限。进一步的分析发现，孤子振幅增长率与斜坡的斜率成正比，这意味着，大地形山体坡度越陡，越有利于偶极型阻塞发展。

同3节一样，根据阻塞形势的尺度以及西风平均纬向风速的特征，取ε=0.5，γ=0.7，t=-1，χ0=0.31，b=6km，a=0.15得到地形强迫下的单孤立子解的偶极型阻塞型流场(图3)：

对比图1与图3可知：无地形强迫时，偶极型阻塞的维持时间相对较短，尤其是强度较弱，而存在地形强迫时，有利于偶极型阻塞维持，尤其是增强，因此，地形强迫对于偶极型阻塞的形成发展具有明显的作用。

6 结论与讨论

本研究运用多尺度变换和摄动法简化具有地形强迫的正压准地转涡度方程，得到带有扰动项的非线性Shrödinger方程，分析了非线性Shrödinger孤立子的拓扑结构，并采用孤立子直接微扰理论研究地形强迫对阻塞结构的作用。结果表明：(1)在大气长波与超长波尺度共存的双时态特征中，一定的波流条件下，西风环流将呈偶极型阻塞结构。(2)地形强迫对阻塞发展具有加强作用，这种增长率与大地形山体的斜率成正比，并在一定时间内达到极限。

本研究虽然从理论上阐述了地形强迫是怎样影响阻塞形势的，但仍存在如下的问题需要解决：从全局的角度看，阻塞形势只是西风带高低指数环流中的一支—低指数环流，要全面的了解地形强迫对阻塞形势的动力过程，需要从西风带环流的准周期性循环着手进行分析，而这一过程，主要由斜压位能的南北输送、交换所引导的，为此，需要进一步考虑斜压过程。