轴压载荷下夹层圆柱壳结构屈曲承载力优化

唐其琴，李伯阳，丁志伟，胥馨尹

（中国工程物理研究院总体工程研究所，四川 绵阳 621999）

1 引言

轻质高承载力是航空航天技术领域结构设计的重要需求，圆柱壳结构是一种优良的承载构件，这种轴对称的结构形式具有强度高、受力均匀、制造工艺简单、装配使用便捷以及气动特性优良等优点，在导弹、火箭、船舶舱体结构和飞机机身结构上有着广泛的应用。对于薄壁圆柱壳结构，在轴压或弯曲载荷作用下的主要失效形式表现为总体和局部屈曲。目前，关于圆柱壳结构屈曲问题已经存在大量的研究工作[1-6]，包括建立了求解多种工况载荷条件下圆柱壳屈曲问题的理论和方法。近年来，大量研究表明轻金属泡沫夹层结构、蜂窝夹层结构等类型夹层结构在航空航天结构应用上表现出优异的性能，并在提高比强度、比刚度、冲击吸能、隔热等方面得到应用研究[7-11]。当半径较大且承载的外压较高时，夹层圆柱壳相比单层圆柱壳结构表现出更高的承载效率。此外，夹层圆柱壳结构的夹层一般采用密度较小、强度及刚度都较低的材料，更易在承载时出现总体或局部失稳屈曲。因此，提高夹层圆柱壳结构在轴压工况下的极限承载性能，对此类结构工程应用具有重要意义。

文献[12]研究了轴压载荷下夹心圆柱壳结构的失稳模态和结构承载效率，对壳体壁厚和芯体材料的相对密度进行了优化，有效地提升了结构的承载能力和承载效率。文献[13-14]研究了内外壳体加环肋骨的一种夹层圆柱壳形式，利用解析法和有限元方法，分析了夹层圆柱壳结构的承载性能，并对影响结构应力和稳定性的参数进行了优化，数据结果显示夹层圆柱壳强度、稳定性能优良，可应用于潜艇的一种结构形式。文献[15]对点阵夹层圆柱壳的力学性能进行了研究，采用点阵材料的均质化等效理论，建立了点阵夹层圆柱壳的强度模型和刚度模型，并同有限元计算结果进行了对比验证。

为了提高承载效率，需要改善结构设计以抵抗轴压载荷，首先对轴压载荷下的夹层圆柱壳结构进行受力分析，找出影响结构屈曲承载力性能的参数，基于参数化模型，建立屈曲分析和优化设计一体化分析与设计模型，基于此模型优化夹层圆柱壳结构内外壁厚度、夹层厚度和夹层材料得到承载效率最佳的构型。

2 模型描述

讨论的夹层圆柱壳结构，其特点是内外薄壁壳体之间加夹芯层，内外壳体和夹芯层组成一个夹层圆柱壳结构。轴压载荷作用下的夹层圆柱壳结构的受力和几何尺寸，如图1 所示。T—夹层圆柱壳结构所承受的轴向载荷，作用在结构的顶端面上；H—夹层圆柱壳的高度；h—夹层的厚度；壁对称夹层圆柱壳结构的内外壁厚度相同，用δ 表示。壁对称夹层圆柱壳边界约束和载荷条件为：底端面固支约束，顶端面约束径向和法向位移、施加均布轴压面载荷。

内外壁所用材料为铝合金，弹性模量Eδ、泊松比ν 和密度ρδ分别为：70GPa，0.33 和2800kg/m3。取夹层材料为以内外壁材料为基体的空心材料，并假设夹层材料的弹性模量与相对密度fs成线性关系[12]，则夹层材料的密度 ρh、弹性模量 Eh分别为 ρh=fsρδ，Eh=fsEδ，泊松比与内外壁材料相同。同时假设内外壁和夹层材料均为各向同性材料，则内外壁材料的剪切模量Gδ和夹层材料的剪切模量Gh可用相应的弹性模量和泊松比表示，即：

对比分析式（1），可得到 Gh和 Gδ的关系，即：

3 夹层圆柱壳结构受力分析

壁对称理想夹层圆柱壳的临界轴向力可由下式表示[16]：

式中：Tcr—临界轴向力；k—稳定系数，对单层圆柱壳，k 与单层圆柱壳的半径 R0和壳壁厚 δ0相关，k 值曲线[16]，如图2 所示。λ—夹层圆柱壳的相对厚度，λ=h/δ；α—夹层抗剪刚度参数，与刚度特性参数b 相关，其中b 表示为：

式中：R—夹层圆柱壳的外壁面半径；对于弹性夹层，当b≤1 时，

α 可近似表示为：

将式（4）带入式（5）得到：

将式（1）和式（2）带入式（6），则有：

图2 轴向力作用下圆柱壳的稳定系数曲线[16]Fig.2 Stable Coefficient Curve of Cylindrical Shell Under Axial Compression Load

将式（7）带入式（3）得到：

由式（8）可以看出，稳定系数k 的取值将直接影响临界轴向力Tcr，在同等临界轴向力Tcr条件下，夹层圆柱壳当量厚度与单层圆柱壳厚度δ0的比值Ck可表示为[16]：

4 夹层圆柱壳轴压承载效率优化

4.1 优化问题提出

如上所述，夹层圆柱壳结构临界轴向力Tcr与结构材料性能参数、几何尺寸参数、稳定系数等相关。考虑夹层圆柱壳结构的重量，求得结构单位重量的屈曲承载能力（即结构承载效率），并以此为优化设计目标函数。

将外壁、夹层和内壁结构的重量用W1、W2和W3表示，则有：

则结构总重量W 可表示为：

结构承载效率ξ 通过下式表示：

优化问题提为：通过设计夹层圆柱壳结构的内外壁厚度、夹层厚度以及相对密度以使结构具有最佳的承载效率，优化问题可描述为：

式中：上标“L”和“U”分别表示相应量的下限和上限。

4.2 优化模型验证

采用参数化建模和有限元分析及优化一体化方法[17-20]进行夹层圆柱壳结构轴压承载效率优化。优化分析时，采用ANSYS 软件对夹层圆柱壳结构的屈曲稳定性进行计算分析，求解得到临界轴向力Tcr，并根据式（12）获得结构承载效率ξ。通过比对解析方法和有限元方法的Tcr结果来验证有限元分析方法的正确性，以具体的夹层圆柱壳结构为例，取夹层圆柱壳高度H 为500mm、外壁面半径R 为50mm。考虑约束设置为：底端面约束x、y、z 方向位移，顶端面约束x、y 方向位移，顶端面施加均匀轴压面载荷。采用SOLID95 单元离散内外壁和夹层。考虑到计算时不涉及单元变形对计算精度的影响，确定单元大小为：内外壁厚度方向2 层单元，夹层3 层单元。边界约束、载荷条件及网格划分，如图3 所示。

对内外壁厚度δ、夹层厚度h、相对密度fs在一定范围内变化取值，选取两组设计参数δ，h，fs的数据组合，第一组设计参数为 fs=0.2，δ=2mm，h 在 2.5mm 至 5.5mm 之间均匀取值；第二组设计参数为 fs=0.3，δ=2.5mm，h 在 2.5mm 至 5.5mm 之间均匀取值。对两组设计参数δ，h，fs的夹层圆柱壳结构进行有限元分析，求解得出临界轴向力 Tcr；将两组设计参数 δ，h，fs带入式（8），求出临界轴向力Tcr解析值，解析值与有限元值对比，如图4 所示。

从图4 可以看出：在选取的两组设计参数δ，h，fs情况中，采用解析方法和有限元方法得到的临界轴向力Tcr变化规律一致性较好；解析值比有限元值略偏高，经计算第一组设计参数二者的最小偏差约为5%、最大偏差约8%，第二组设计参数二者的最小偏差约为5%、最大偏差约10%。出现这种偏差主要由于解析方法是针对理想状态下的夹层圆柱壳求得，理想状态下的稳定系数k′取值往往偏理想化，即取值偏高，从对比结果变化规律一致可以印证这一分析。而偏差最大接近10%，对于快速响应的工程优化，偏差值在可接受的范围内。通过上述分析表明：有限元值与解析值一致性较好、偏差较小，验证了优化模型的正确性。

图3 边界条件和网格划分Fig.3 Boundary Conditions and Mesh Division

图4 解析值和有限元值分析对比Fig.4 Comparison Between the Analytical Results and FEM Results

4.3 优化模型求解

在优化设计过程中需多次重复进行轴压屈曲稳定性分析，建立参数化模型以确保优化过程的计算连续性，实现有限元分析的实时调用。采用ANSYS 提供的APDL 语言构建结构有限元参数化几何模型，自动划分模型网格，自动加载边界约束和载荷条件。夹层圆柱壳结构内外壁、夹层均采用SOLID95 单元离散，该单元支持弹塑性分析，能够实现模拟三维薄壁实体结构的屈曲行为。有限元模型构建完成后，建立屈曲分析和优化设计一体化分析与设计模型[18]，优化设计流程，如图5 所示。根据图5 的优化设计流程：首先输入三维APDL 有限元模型，驱动ANSYS 对输入的有限元模型进行计算分析；再基于选定的优化算法对计算结果进行分析评测，判断是否满足目标函数结果要求，如果不满足要求，则调整结构参数，更新模型并进行下一轮迭代分析，如果满足要求，则运算结束。设计变量初始取值为fs=0.2，δ=2mm，h=5mm。考虑优化效率和优化结果精确性，优化算法采用DOWNHILL SIM－PLEX（DS）算法[18]，该算法适合中等规模设计变量和中度非线性的优化问题，其优点是收敛速度快、优化效率高。

图5 优化设计流程Fig.5 Optimal Design Process

根据优化设计流程及优化算法策略，优化过程中设计变量和目标函数的收敛过程，如图6 所示。从图6 中可以看出，通过优化算法控制，在设计域内对各个设计参数进行不断的修正，包括迭代过程中因不满足约束条件而进行的参数调整，经过57 次结构重分析后目标函数逐渐收敛。从收敛的迭代过程来看，在优化迭代的前期，收敛速度较快，经过约50 次结构重分析后逐渐逼近优化结果，此后收敛速度明显减慢。

图6 优化迭代过程Fig.6 Iteration Process of Optimization Design

4.4 优化结果分析

夹层圆柱壳结构屈曲承载效率优化前后参数对比，如表1所示。从表1 中可以看出，最终优化分析出的最优结构承载效率ξ为5.687×106N/kg，此时对应的相对密度fs=0.27，内外壁厚度δ=2.99mm，夹层厚度h=5.97mm。相比初始设计，结构承载效率提高了29%。初始设计时，结构总重量和临界轴向力分别为2kg、0.88×107N，优化后增加至2.93kg、1.67×107N，分别提高了46.5%和89.7%。通过表1 中的优化前后参数对比可知，对设计变量fs，δ，h 在设计范围内的合理取值，可以获得满足设计约束且具有最佳屈曲承载效率的夹层圆柱壳结构。优化设计过程中夹层圆柱壳结构的临界轴向力Tcr的迭代历程，如图7 所示。从图中可以看出：临界轴向力Tcr经过53 次结构重分析后趋于收敛。将优化设计过程中的设计变量 fs，δ，h 带入式（8）中，可以得到一组临界轴向力 Tcr解析值。通过比对分析临界轴向力Tcr理论值和有限元值，结果显示理论计算的结果略偏高，二者最小偏差为1.1%、最大偏差为9.3%，偏差较小，与前述模型验证过程中分析得到的结论一致，进一步验证了优化设计模型的正确性。

表1 优化参数及优化结果Tab.1 Optimal Parameters and Results

图7 优化过程中临界轴向力Tcr 理论和有限元对比Fig.7 Comparation of Analytical and FEM Resultsof Critical Compression Load Tcr in the Optimization Process

5 结论

对夹层圆柱壳结构进行了轴压受力分析，建立了以夹层圆柱壳结构的内外壁厚度、夹层厚度以及相对密度为设计变量、以结构承载效率为目标函数的屈曲分析和优化设计一体化分析与设计模型，利用此优化设计模型实现了夹层圆柱壳结构的屈曲承载效率优化。数值算例结果表明：采用DS 算法优化设计后，结构承载效率 ξ 从 4.397×106N/kg 增加到 5.687×106N/kg，提升了 29%，表明通过在可行设计域内对设计变量进行合理取值，能够获得性能更高效的夹层圆柱壳结构。提供的一种快速响应工程优化方法可为夹层圆柱壳结构设计提供参考，有助于促进夹层圆柱壳结构的工程应用研究。