数学中的替换思维研究

匡振友

摘 要：替换是人们在社会生活中思考问题、解决问题的一种思维方式。也是数学解决问题的策略和方法。它与整体思想、化归思想同等重要。教材中，很多地方运用了替换思维来处理问题的。因此在教学中明确替换，掌握替换原则，这对于培养学生的问题解决能力大有裨益。

關键词：概念 原则 应用

一、替换概念的认识

替换源自生活。历史上有两则著名的故事——《推敲》和《曹冲称象》。诗人最后决定把“推”替换为“敲”，达到了不同的诗境。曹冲巧妙地用石头代替大象，达到相同水位时重量相等。生活中所谓的物物交换、换人工作、用石头替代铁锤定木条等等都是替换思维的表现。

尽管生活中的替换形式呈现多样化，但从数学角度上讲，替换就是对应关系。指的是可以抛开两件事物A和B间的无关属性，使A与B建立一种对应后，用B替换A。

在代数运算中，一般是用一个字母或一个整体去代替一个整式或另一个整体，使得运算简便化。杨玉华老师在《数学中的替换思维》提出变量替换概念，利用变量替换解决极限问题、积分问题、微分方程的通解问题[1]。

从上述可见，广义替换就是用一个事项替代为另一个事项。狭义替换就是在数学中用一个量去替代另一个量，也可以用一个数去替代另一个数。在数与数之间、数与式之间、式与式之间互相替代。

二、数学替换的原则

1.整体原则

替换思维渗透着整体思想，通常说“整体替换，常数不变”。在分析和解决问题的过程中，强调的是A被B替换。A是问题中的相同部分，被视为一个整体，是被替换的对象;B是设定用来替换的对象，也就是设定的另一个整体，用B去替换问题中A。

2.等量原则

等量代换就是用一个与之相等的量去替换它。强调的是相等关系。等量的传递性表达的很明确，简单地表述为a=b，b=c那么a=c。对第一个等式而言，b替换为c，得到第三个等式。所以替换是以等量为基础进行的。

3.对应原则

替换能很好地体现出一种函数关系。从自变量到因变量，在对应法则下，每给定自变量一个值，都有唯一的函数值与之对应，那么在定义域内，用b替换a导致函数值的变化。在这里，用b替换a是在定义域内的替换，解决问题时要关注函数值的变化。其次，还要关注图形变化和算式结构性的变化，还要注意位置变化。

案例欣赏：观察下列算式

请用含n的算式表示此规律。

分析：做好此题的替换，要关注两种角度的对应。

一是位置角度对应。观察算式的结构性变化，不难发现处于相同位置上的自然数被后续的自然数所替换。所以用后续自然数去替换时，要在位置上对号入座。

二是函数角度对应。不妨将算式逐个进行编序号，把序号作为自变量，而算式的左端和右端分别作为因变量。

当自变量增加1时，左端分母中的第二个因数增加1，右端第二个分母增加1。所以第n个算式应为。

在这里，用字母n替换了具体数字，进行了符号化处理，得到了规律。

三、替换应用于教学

1.要精心设计情境，注重替换思维的培养

案例欣赏[2]：

小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满，大杯的容量是小杯的3倍，小杯和大杯的容量各是多少？

针对此题，教师引导学生分析题意，画出示意图，然后作了以下探究：

（1）把大杯替换成小杯。

（2）把小杯替换成大杯。

（3）用x表示小杯容量，引导学生列一元一次方程。

教师进一步引导学生又做了如下替换：用长方形替代实物，大小杯互相替换，用x替代大杯容量。这样的教学设计，既培养了学生的替换思维，又让学生初步了解如何替换，培养学生的替换能力。

更深层地想，如果保持数据不变，用“甲乙两班人数”替换果汁，用“甲班人数和乙班人数”去替换“大杯和小杯”;或其他条件不变，把“3倍”替换为“大杯比小杯多27毫升”，让学生进一步探究，那么学生的思维向深处发展。再进一步放手让学生做一些替换，这有助于提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。

这种设计给学生搭建了一个新的台阶，符合学生认识事物螺旋上升的基本认知规律，学生学得轻松，学得扎实。

2.关注学生掌握一些基本的替换过程和方法

用替换策略解决问题的教学设计有很多，让学生掌握这些基本替换的方法。如：代入求值是用数字替代字母的过程;公式应用是用一个数或代数式替换公式中的字母;换元法是将相同部分视为一个“元”，实现“量”与“量”的替换;概念符号化是用“符号”替换“文字”。

诸如此类，像函数中变量替换，三角函数变形中的角度替换、高等代数中的替换定理等等，不一一枚举，可以说替换思维应用广泛。

在众多的解决问题的策略和方法中，替换是有助于培养学生解题能力的一副良方益法。独秀一枝，不失魅力。

参考文献

[1]杨玉华，数学中的替换思维[J].邢台学院学报，2008，23（04）.

[2]陈金飞，遵循等量原则，提升思维水平[J].考试周刊，2009，（47）.